Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101063 / 97878
↖ ↑ ↗
← S 66.042566°
E 97.577820°		 ← 124.02 m → S 66.042566°
E 97.580566°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
S 66.043681°
E 97.577820°		 ← 124.02 m →
15 384 m²		 S 66.043681°
E 97.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771053314208984 y=0.746753692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771053314208984 × 217)
    floor (0.771053314208984 × 131072)
    floor (101063.5)     		tx = 101063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746753692626953 × 217)
    floor (0.746753692626953 × 131072)
    floor (97878.5)     		ty = 97878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101063 / 97878 ti = "17/101063/97878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101063/97878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101063 ÷ 217
    101063 ÷ 131072     		x = 0.771049499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97878 ÷ 217
    97878 ÷ 131072     		y = 0.746749877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771049499511719 × 2 - 1) × π
    0.542098999023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70305423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746749877929688 × 2 - 1) × π
    -0.493499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55037520751186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70305423} λ = 1.70305423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55037520751186))-π/2
    2×atan(0.212168351730925)-π/2
    2×0.209068052247156-π/2
    0.418136104494313-1.57079632675     		φ = -1.15266022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70305423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.577820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15266022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.042566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101063 KachelY 97878 1.70305423 -1.15266022 97.577820 -66.042566
    Oben rechts KachelX + 1 101064 KachelY 97878 1.70310217 -1.15266022 97.580566 -66.042566
    Unten links KachelX 101063 KachelY + 1 97879 1.70305423 -1.15267969 97.577820 -66.043681
    Unten rechts KachelX + 1 101064 KachelY + 1 97879 1.70310217 -1.15267969 97.580566 -66.043681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15266022--1.15267969) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dl = 124.043370000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15266022--1.15267969) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dr = 124.043370000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70305423-1.70310217) × cos(-1.15266022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406057845473837 × 6371000     		do = 124.020517936571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70305423-1.70310217) × cos(-1.15267969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406040052788468 × 6371000     		du = 124.015083592476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15266022)-sin(-1.15267969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406057845473837-0.406040052788468)×R²
    abs(1.70310217-1.70305423)×1.77926853687782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77926853687782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77926853687782e-05×40589641000000     		ar = 15383.5859471898m²