Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101060 / 97987
↖ ↑ ↗
← S 66.163840°
E 97.569580°		 ← 123.43 m → S 66.163840°
E 97.572327°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
S 66.164951°
E 97.569580°		 ← 123.42 m →
15 239 m²		 S 66.164951°
E 97.572327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771030426025391 y=0.747585296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771030426025391 × 217)
    floor (0.771030426025391 × 131072)
    floor (101060.5)     		tx = 101060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747585296630859 × 217)
    floor (0.747585296630859 × 131072)
    floor (97987.5)     		ty = 97987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101060 / 97987 ti = "17/101060/97987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101060/97987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101060 ÷ 217
    101060 ÷ 131072     		x = 0.771026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97987 ÷ 217
    97987 ÷ 131072     		y = 0.747581481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771026611328125 × 2 - 1) × π
    0.54205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70291042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747581481933594 × 2 - 1) × π
    -0.495162963867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.55560032957044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70291042} λ = 1.70291042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55560032957044))-π/2
    2×atan(0.211062637457856)-π/2
    2×0.208009730877106-π/2
    0.416019461754213-1.57079632675     		φ = -1.15477686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70291042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15477686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.163840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101060 KachelY 97987 1.70291042 -1.15477686 97.569580 -66.163840
    Oben rechts KachelX + 1 101061 KachelY 97987 1.70295836 -1.15477686 97.572327 -66.163840
    Unten links KachelX 101060 KachelY + 1 97988 1.70291042 -1.15479624 97.569580 -66.164951
    Unten rechts KachelX + 1 101061 KachelY + 1 97988 1.70295836 -1.15479624 97.572327 -66.164951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15477686--1.15479624) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dl = 123.469980000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15477686--1.15479624) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dr = 123.469980000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70291042-1.70295836) × cos(-1.15477686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40412265140608 × 6371000     		do = 123.429459856383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70291042-1.70295836) × cos(-1.15479624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404104924351044 × 6371000     		du = 123.424045557481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15477686)-sin(-1.15479624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40412265140608-0.404104924351044)×R²
    abs(1.70295836-1.70291042)×1.77270550356656e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77270550356656e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77270550356656e-05×40589641000000     		ar = 15239.4986887039m²