Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101059 / 97989
↖ ↑ ↗
← S 66.166061°
E 97.566834°		 ← 123.39 m → S 66.166061°
E 97.569580°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
S 66.167170°
E 97.566834°		 ← 123.39 m →
15 227 m²		 S 66.167170°
E 97.569580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771022796630859 y=0.747600555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771022796630859 × 217)
    floor (0.771022796630859 × 131072)
    floor (101059.5)     		tx = 101059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747600555419922 × 217)
    floor (0.747600555419922 × 131072)
    floor (97989.5)     		ty = 97989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101059 / 97989 ti = "17/101059/97989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101059/97989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101059 ÷ 217
    101059 ÷ 131072     		x = 0.771018981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97989 ÷ 217
    97989 ÷ 131072     		y = 0.747596740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771018981933594 × 2 - 1) × π
    0.542037963867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70286249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747596740722656 × 2 - 1) × π
    -0.495193481445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.55569620336968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70286249} λ = 1.70286249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55569620336968))-π/2
    2×atan(0.211042403050915)-π/2
    2×0.207990359339775-π/2
    0.415980718679551-1.57079632675     		φ = -1.15481561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70286249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.566834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15481561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.166061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101059 KachelY 97989 1.70286249 -1.15481561 97.566834 -66.166061
    Oben rechts KachelX + 1 101060 KachelY 97989 1.70291042 -1.15481561 97.569580 -66.166061
    Unten links KachelX 101059 KachelY + 1 97990 1.70286249 -1.15483498 97.566834 -66.167170
    Unten rechts KachelX + 1 101060 KachelY + 1 97990 1.70291042 -1.15483498 97.569580 -66.167170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15481561--1.15483498) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dl = 123.406269999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15481561--1.15483498) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dr = 123.406269999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70286249-1.70291042) × cos(-1.15481561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404087206291437 × 6371000     		do = 123.392889610258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70286249-1.70291042) × cos(-1.15483498) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404069488080219 × 6371000     		du = 123.387479141312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15481561)-sin(-1.15483498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404087206291437-0.404069488080219)×R²
    abs(1.70291042-1.70286249)×1.77182112185981e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77182112185981e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77182112185981e-05×40589641000000     		ar = 15227.1224087785m²