Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101059 / 97851
↖ ↑ ↗
← S 66.012436°
E 97.566834°		 ← 124.14 m → S 66.012436°
E 97.569580°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
S 66.013552°
E 97.566834°		 ← 124.14 m →
15 414 m²		 S 66.013552°
E 97.569580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771022796630859 y=0.746547698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771022796630859 × 217)
    floor (0.771022796630859 × 131072)
    floor (101059.5)     		tx = 101059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746547698974609 × 217)
    floor (0.746547698974609 × 131072)
    floor (97851.5)     		ty = 97851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101059 / 97851 ti = "17/101059/97851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101059/97851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101059 ÷ 217
    101059 ÷ 131072     		x = 0.771018981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97851 ÷ 217
    97851 ÷ 131072     		y = 0.746543884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771018981933594 × 2 - 1) × π
    0.542037963867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70286249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746543884277344 × 2 - 1) × π
    -0.493087768554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.54908091122211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70286249} λ = 1.70286249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54908091122211))-π/2
    2×atan(0.212443138230584)-π/2
    2×0.209330987282812-π/2
    0.418661974565625-1.57079632675     		φ = -1.15213435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70286249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.566834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15213435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.012436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101059 KachelY 97851 1.70286249 -1.15213435 97.566834 -66.012436
    Oben rechts KachelX + 1 101060 KachelY 97851 1.70291042 -1.15213435 97.569580 -66.012436
    Unten links KachelX 101059 KachelY + 1 97852 1.70286249 -1.15215384 97.566834 -66.013552
    Unten rechts KachelX + 1 101060 KachelY + 1 97852 1.70291042 -1.15215384 97.569580 -66.013552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15213435--1.15215384) × R
    1.94899999998999e-05 × 6371000     		dl = 124.170789999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15213435--1.15215384) × R
    1.94899999998999e-05 × 6371000     		dr = 124.170789999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70286249-1.70291042) × cos(-1.15213435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406538354225697 × 6371000     		do = 124.141377119294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70286249-1.70291042) × cos(-1.15215384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406520547427365 × 6371000     		du = 124.135939599207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15213435)-sin(-1.15215384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406538354225697-0.406520547427365)×R²
    abs(1.70291042-1.70286249)×1.78067983324648e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78067983324648e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78067983324648e-05×40589641000000     		ar = 15414.3952783588m²