Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101058 / 97986
↖ ↑ ↗
← S 66.162731°
E 97.564087°		 ← 123.43 m → S 66.162731°
E 97.566834°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
S 66.163840°
E 97.564087°		 ← 123.43 m →
15 232 m²		 S 66.163840°
E 97.566834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771015167236328 y=0.747577667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771015167236328 × 217)
    floor (0.771015167236328 × 131072)
    floor (101058.5)     		tx = 101058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747577667236328 × 217)
    floor (0.747577667236328 × 131072)
    floor (97986.5)     		ty = 97986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101058 / 97986 ti = "17/101058/97986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101058/97986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101058 ÷ 217
    101058 ÷ 131072     		x = 0.771011352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97986 ÷ 217
    97986 ÷ 131072     		y = 0.747573852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771011352539062 × 2 - 1) × π
    0.542022705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70281455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747573852539062 × 2 - 1) × π
    -0.495147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55555239267082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70281455} λ = 1.70281455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55555239267082))-π/2
    2×atan(0.21107275538883)-π/2
    2×0.208019417282846-π/2
    0.416038834565693-1.57079632675     		φ = -1.15475749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70281455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.564087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15475749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.162731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101058 KachelY 97986 1.70281455 -1.15475749 97.564087 -66.162731
    Oben rechts KachelX + 1 101059 KachelY 97986 1.70286249 -1.15475749 97.566834 -66.162731
    Unten links KachelX 101058 KachelY + 1 97987 1.70281455 -1.15477686 97.564087 -66.163840
    Unten rechts KachelX + 1 101059 KachelY + 1 97987 1.70286249 -1.15477686 97.566834 -66.163840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15475749--1.15477686) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dl = 123.406269999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15475749--1.15477686) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dr = 123.406269999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70281455-1.70286249) × cos(-1.15475749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404140369162363 × 6371000     		do = 123.434871315207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70281455-1.70286249) × cos(-1.15477686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40412265140608 × 6371000     		du = 123.429459856383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15475749)-sin(-1.15477686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404140369162363-0.40412265140608)×R²
    abs(1.70286249-1.70281455)×1.77177562836195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77177562836195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77177562836195e-05×40589641000000     		ar = 15232.303153421m²