Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101057 / 97984
↖ ↑ ↗
← S 66.160510°
E 97.561340°		 ← 123.45 m → S 66.160510°
E 97.564087°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
S 66.161621°
E 97.561340°		 ← 123.44 m →
15 242 m²		 S 66.161621°
E 97.564087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771007537841797 y=0.747562408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771007537841797 × 217)
    floor (0.771007537841797 × 131072)
    floor (101057.5)     		tx = 101057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747562408447266 × 217)
    floor (0.747562408447266 × 131072)
    floor (97984.5)     		ty = 97984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101057 / 97984 ti = "17/101057/97984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101057/97984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101057 ÷ 217
    101057 ÷ 131072     		x = 0.771003723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97984 ÷ 217
    97984 ÷ 131072     		y = 0.74755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771003723144531 × 2 - 1) × π
    0.542007446289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70276661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74755859375 × 2 - 1) × π
    -0.4951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55545651887158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70276661} λ = 1.70276661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55545651887158))-π/2
    2×atan(0.211092992705904)-π/2
    2×0.20803879136855-π/2
    0.4160775827371-1.57079632675     		φ = -1.15471874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70276661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.561340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15471874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.160510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101057 KachelY 97984 1.70276661 -1.15471874 97.561340 -66.160510
    Oben rechts KachelX + 1 101058 KachelY 97984 1.70281455 -1.15471874 97.564087 -66.160510
    Unten links KachelX 101057 KachelY + 1 97985 1.70276661 -1.15473812 97.561340 -66.161621
    Unten rechts KachelX + 1 101058 KachelY + 1 97985 1.70281455 -1.15473812 97.564087 -66.161621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15471874--1.15473812) × R
    1.93799999999023e-05 × 6371000     		dl = 123.469979999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15471874--1.15473812) × R
    1.93799999999023e-05 × 6371000     		dr = 123.469979999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70276661-1.70281455) × cos(-1.15471874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40417581336684 × 6371000     		do = 123.445696887588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70276661-1.70281455) × cos(-1.15473812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404158086767014 × 6371000     		du = 123.440282727719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15471874)-sin(-1.15473812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40417581336684-0.404158086767014)×R²
    abs(1.70281455-1.70276661)×1.77265998256848e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77265998256848e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77265998256848e-05×40589641000000     		ar = 15241.5034831694m²