Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101055 / 98239
↖ ↑ ↗
← S 66.442009°
E 97.555847°		 ← 122.05 m → S 66.442009°
E 97.558593°		 →
↑
122.07 m
↓
↑
122.07 m
↓
S 66.443106°
E 97.555847°		 ← 122.04 m →
14 898 m²		 S 66.443106°
E 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770992279052734 y=0.749507904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770992279052734 × 217)
    floor (0.770992279052734 × 131072)
    floor (101055.5)     		tx = 101055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749507904052734 × 217)
    floor (0.749507904052734 × 131072)
    floor (98239.5)     		ty = 98239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101055 / 98239 ti = "17/101055/98239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101055/98239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101055 ÷ 217
    101055 ÷ 131072     		x = 0.770988464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98239 ÷ 217
    98239 ÷ 131072     		y = 0.749504089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770988464355469 × 2 - 1) × π
    0.541976928710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70267074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749504089355469 × 2 - 1) × π
    -0.499008178710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.5676804282747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70267074} λ = 1.70267074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5676804282747))-π/2
    2×atan(0.208528318197096)-π/2
    2×0.205582255925005-π/2
    0.41116451185001-1.57079632675     		φ = -1.15963181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70267074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.555847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15963181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.442009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101055 KachelY 98239 1.70267074 -1.15963181 97.555847 -66.442009
    Oben rechts KachelX + 1 101056 KachelY 98239 1.70271867 -1.15963181 97.558593 -66.442009
    Unten links KachelX 101055 KachelY + 1 98240 1.70267074 -1.15965097 97.555847 -66.443106
    Unten rechts KachelX + 1 101056 KachelY + 1 98240 1.70271867 -1.15965097 97.558593 -66.443106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15963181--1.15965097) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dl = 122.068359999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15963181--1.15965097) × R
    1.9159999999907e-05 × 6371000     		dr = 122.068359999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70267074-1.70271867) × cos(-1.15963181) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399677060067258 × 6371000     		do = 122.046198406645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70267074-1.70271867) × cos(-1.15965097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399659496864673 × 6371000     		du = 122.04083527145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15963181)-sin(-1.15965097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399677060067258-0.399659496864673)×R²
    abs(1.70271867-1.70267074)×1.75632025852801e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75632025852801e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75632025852801e-05×40589641000000     		ar = 14897.6519495866m²