Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101053 / 97967
↖ ↑ ↗
← S 66.141632°
E 97.550354°		 ← 123.54 m → S 66.141632°
E 97.553101°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
S 66.142743°
E 97.550354°		 ← 123.53 m →
15 261 m²		 S 66.142743°
E 97.553101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770977020263672 y=0.747432708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770977020263672 × 217)
    floor (0.770977020263672 × 131072)
    floor (101053.5)     		tx = 101053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747432708740234 × 217)
    floor (0.747432708740234 × 131072)
    floor (97967.5)     		ty = 97967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101053 / 97967 ti = "17/101053/97967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101053/97967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101053 ÷ 217
    101053 ÷ 131072     		x = 0.770973205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97967 ÷ 217
    97967 ÷ 131072     		y = 0.747428894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770973205566406 × 2 - 1) × π
    0.541946411132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70257486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747428894042969 × 2 - 1) × π
    -0.494857788085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.55464159157804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70257486} λ = 1.70257486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55464159157804))-π/2
    2×atan(0.211265088260293)-π/2
    2×0.208203539708886-π/2
    0.416407079417773-1.57079632675     		φ = -1.15438925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70257486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.550354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15438925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.141632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101053 KachelY 97967 1.70257486 -1.15438925 97.550354 -66.141632
    Oben rechts KachelX + 1 101054 KachelY 97967 1.70262280 -1.15438925 97.553101 -66.141632
    Unten links KachelX 101053 KachelY + 1 97968 1.70257486 -1.15440864 97.550354 -66.142743
    Unten rechts KachelX + 1 101054 KachelY + 1 97968 1.70262280 -1.15440864 97.553101 -66.142743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15438925--1.15440864) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dl = 123.533690000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15438925--1.15440864) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dr = 123.533690000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70257486-1.70262280) × cos(-1.15438925) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404477169769163 × 6371000     		do = 123.537738890343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70257486-1.70262280) × cos(-1.15440864) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.404459436605554 × 6371000     		du = 123.532322725726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15438925)-sin(-1.15440864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404477169769163-0.404459436605554)×R²
    abs(1.70262280-1.70257486)×1.77331636083689e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77331636083689e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77331636083689e-05×40589641000000     		ar = 15260.7382005637m²