Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101051 / 97881
↖ ↑ ↗
← S 66.045911°
E 97.544861°		 ← 124 m → S 66.045911°
E 97.547608°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
S 66.047027°
E 97.544861°		 ← 124 m →
15 382 m²		 S 66.047027°
E 97.547608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770961761474609 y=0.746776580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770961761474609 × 217)
    floor (0.770961761474609 × 131072)
    floor (101051.5)     		tx = 101051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746776580810547 × 217)
    floor (0.746776580810547 × 131072)
    floor (97881.5)     		ty = 97881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101051 / 97881 ti = "17/101051/97881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101051/97881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101051 ÷ 217
    101051 ÷ 131072     		x = 0.770957946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97881 ÷ 217
    97881 ÷ 131072     		y = 0.746772766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770957946777344 × 2 - 1) × π
    0.541915893554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70247899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746772766113281 × 2 - 1) × π
    -0.493545532226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.55051901821072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70247899} λ = 1.70247899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55051901821072))-π/2
    2×atan(0.212137841845863)-π/2
    2×0.209038856434571-π/2
    0.418077712869141-1.57079632675     		φ = -1.15271861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70247899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.544861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15271861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.045911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101051 KachelY 97881 1.70247899 -1.15271861 97.544861 -66.045911
    Oben rechts KachelX + 1 101052 KachelY 97881 1.70252693 -1.15271861 97.547608 -66.045911
    Unten links KachelX 101051 KachelY + 1 97882 1.70247899 -1.15273808 97.544861 -66.047027
    Unten rechts KachelX + 1 101052 KachelY + 1 97882 1.70252693 -1.15273808 97.547608 -66.047027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15271861--1.15273808) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dl = 124.043370000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15271861--1.15273808) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dr = 124.043370000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70247899-1.70252693) × cos(-1.15271861) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406004485233393 × 6371000     		do = 124.004220346221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70247899-1.70252693) × cos(-1.15273808) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.405986692086437 × 6371000     		du = 123.998785861145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15271861)-sin(-1.15273808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406004485233393-0.405986692086437)×R²
    abs(1.70252693-1.70247899)×1.77931469564907e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77931469564907e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77931469564907e-05×40589641000000     		ar = 15381.5643303913m²