Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10105 / 2435
↖ ↑ ↗
← N 77.451715°
E 42.033691°		 ← 530.83 m → N 77.451715°
E 42.055664°		 →
↑
530.96 m
↓
↑
530.96 m
↓
N 77.446940°
E 42.033691°		 ← 531.03 m →
281 903 m²		 N 77.446940°
E 42.055664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616790771484375 y=0.148651123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616790771484375 × 214)
    floor (0.616790771484375 × 16384)
    floor (10105.5)     		tx = 10105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148651123046875 × 214)
    floor (0.148651123046875 × 16384)
    floor (2435.5)     		ty = 2435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10105 / 2435 ti = "14/10105/2435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10105/2435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10105 ÷ 214
    10105 ÷ 16384     		x = 0.61676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2435 ÷ 214
    2435 ÷ 16384     		y = 0.14862060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61676025390625 × 2 - 1) × π
    0.2335205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73362631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14862060546875 × 2 - 1) × π
    0.7027587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20778184890131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73362631} λ = 0.73362631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20778184890131))-π/2
    2×atan(9.09551876568371)-π/2
    2×1.46129188265536-π/2
    2.92258376531072-1.57079632675     		φ = 1.35178744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73362631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.033691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35178744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.451715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10105 KachelY 2435 0.73362631 1.35178744 42.033691 77.451715
    Oben rechts KachelX + 1 10106 KachelY 2435 0.73400981 1.35178744 42.055664 77.451715
    Unten links KachelX 10105 KachelY + 1 2436 0.73362631 1.35170410 42.033691 77.446940
    Unten rechts KachelX + 1 10106 KachelY + 1 2436 0.73400981 1.35170410 42.055664 77.446940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35178744-1.35170410) × R
    8.33399999999873e-05 × 6371000     		dl = 530.959139999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35178744-1.35170410) × R
    8.33399999999873e-05 × 6371000     		dr = 530.959139999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73362631-0.73400981) × cos(1.35178744) × R
    0.000383499999999981 × 0.217262291206304 × 6371000     		do = 530.832284965076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73362631-0.73400981) × cos(1.35170410) × R
    0.000383499999999981 × 0.217343639730815 × 6371000     		du = 531.03104206602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35178744)-sin(1.35170410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217262291206304-0.217343639730815)×R²
    abs(0.73400981-0.73362631)×8.13485245107215e-05×R²
    0.000383499999999981×8.13485245107215e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.13485245107215e-05×40589641000000     		ar = 281903.019622283m²