Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101049 / 98905
↖ ↑ ↗
← S 67.162494°
E 97.539368°		 ← 118.52 m → S 67.162494°
E 97.542114°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
S 67.163560°
E 97.539368°		 ← 118.51 m →
14 044 m²		 S 67.163560°
E 97.542114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770946502685547 y=0.754589080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770946502685547 × 217)
    floor (0.770946502685547 × 131072)
    floor (101049.5)     		tx = 101049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754589080810547 × 217)
    floor (0.754589080810547 × 131072)
    floor (98905.5)     		ty = 98905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101049 / 98905 ti = "17/101049/98905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101049/98905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101049 ÷ 217
    101049 ÷ 131072     		x = 0.770942687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98905 ÷ 217
    98905 ÷ 131072     		y = 0.754585266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770942687988281 × 2 - 1) × π
    0.541885375976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70238312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754585266113281 × 2 - 1) × π
    -0.509170532226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59960640342165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70238312} λ = 1.70238312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59960640342165))-π/2
    2×atan(0.201975999414099)-π/2
    2×0.199294835277477-π/2
    0.398589670554953-1.57079632675     		φ = -1.17220666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70238312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.539368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17220666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.162494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101049 KachelY 98905 1.70238312 -1.17220666 97.539368 -67.162494
    Oben rechts KachelX + 1 101050 KachelY 98905 1.70243105 -1.17220666 97.542114 -67.162494
    Unten links KachelX 101049 KachelY + 1 98906 1.70238312 -1.17222526 97.539368 -67.163560
    Unten rechts KachelX + 1 101050 KachelY + 1 98906 1.70243105 -1.17222526 97.542114 -67.163560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17220666--1.17222526) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17220666--1.17222526) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70238312-1.70243105) × cos(-1.17220666) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388118952551294 × 6371000     		do = 118.516791232609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70238312-1.70243105) × cos(-1.17222526) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388101810551412 × 6371000     		du = 118.511556716727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17220666)-sin(-1.17222526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388118952551294-0.388101810551412)×R²
    abs(1.70243105-1.70238312)×1.71419998819533e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71419998819533e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71419998819533e-05×40589641000000     		ar = 14044.0007249176m²