Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101048 / 98888
↖ ↑ ↗
← S 67.144365°
E 97.536621°		 ← 118.63 m → S 67.144365°
E 97.539368°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
S 67.145432°
E 97.536621°		 ← 118.63 m →
14 073 m²		 S 67.145432°
E 97.539368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770938873291016 y=0.754459381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770938873291016 × 217)
    floor (0.770938873291016 × 131072)
    floor (101048.5)     		tx = 101048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754459381103516 × 217)
    floor (0.754459381103516 × 131072)
    floor (98888.5)     		ty = 98888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101048 / 98888 ti = "17/101048/98888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101048/98888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101048 ÷ 217
    101048 ÷ 131072     		x = 0.77093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98888 ÷ 217
    98888 ÷ 131072     		y = 0.75445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77093505859375 × 2 - 1) × π
    0.5418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70233518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.5089111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59879147612811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70233518} λ = 1.70233518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59879147612811))-π/2
    2×atan(0.20214066225367)-π/2
    2×0.199453039041639-π/2
    0.398906078083279-1.57079632675     		φ = -1.17189025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70233518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17189025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.144365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101048 KachelY 98888 1.70233518 -1.17189025 97.536621 -67.144365
    Oben rechts KachelX + 1 101049 KachelY 98888 1.70238312 -1.17189025 97.539368 -67.144365
    Unten links KachelX 101048 KachelY + 1 98889 1.70233518 -1.17190887 97.536621 -67.145432
    Unten rechts KachelX + 1 101049 KachelY + 1 98889 1.70238312 -1.17190887 97.539368 -67.145432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17189025--1.17190887) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dl = 118.628020000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17189025--1.17190887) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dr = 118.628020000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70233518-1.70238312) × cos(-1.17189025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388410539512743 × 6371000     		do = 118.630576454401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70233518-1.70238312) × cos(-1.17190887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388393381367963 × 6371000     		du = 118.625335915334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17189025)-sin(-1.17190887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388410539512743-0.388393381367963)×R²
    abs(1.70238312-1.70233518)×1.71581447799274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71581447799274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71581447799274e-05×40589641000000     		ar = 14072.5995592308m²