Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101047 / 98887
↖ ↑ ↗
← S 67.143299°
E 97.533874°		 ← 118.64 m → S 67.143299°
E 97.536621°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
S 67.144365°
E 97.533874°		 ← 118.63 m →
14 073 m²		 S 67.144365°
E 97.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770931243896484 y=0.754451751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770931243896484 × 217)
    floor (0.770931243896484 × 131072)
    floor (101047.5)     		tx = 101047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754451751708984 × 217)
    floor (0.754451751708984 × 131072)
    floor (98887.5)     		ty = 98887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101047 / 98887 ti = "17/101047/98887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101047/98887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101047 ÷ 217
    101047 ÷ 131072     		x = 0.770927429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98887 ÷ 217
    98887 ÷ 131072     		y = 0.754447937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770927429199219 × 2 - 1) × π
    0.541854858398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70228724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754447937011719 × 2 - 1) × π
    -0.508895874023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.59874353922849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70228724} λ = 1.70228724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59874353922849))-π/2
    2×atan(0.202150352482564)-π/2
    2×0.19946234884581-π/2
    0.39892469769162-1.57079632675     		φ = -1.17187163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70228724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.533874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17187163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.143299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101047 KachelY 98887 1.70228724 -1.17187163 97.533874 -67.143299
    Oben rechts KachelX + 1 101048 KachelY 98887 1.70233518 -1.17187163 97.536621 -67.143299
    Unten links KachelX 101047 KachelY + 1 98888 1.70228724 -1.17189025 97.533874 -67.144365
    Unten rechts KachelX + 1 101048 KachelY + 1 98888 1.70233518 -1.17189025 97.536621 -67.144365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17187163--1.17189025) × R
    1.86199999998582e-05 × 6371000     		dl = 118.628019999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17187163--1.17189025) × R
    1.86199999998582e-05 × 6371000     		dr = 118.628019999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70228724-1.70233518) × cos(-1.17187163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388427697522859 × 6371000     		do = 118.635816952338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70228724-1.70233518) × cos(-1.17189025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388410539512743 × 6371000     		du = 118.630576454401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17187163)-sin(-1.17189025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388427697522859-0.388410539512743)×R²
    abs(1.70233518-1.70228724)×1.71580101161473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71580101161473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71580101161473e-05×40589641000000     		ar = 14073.2212316376m²