Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101046 / 98010
↖ ↑ ↗
← S 66.189357°
E 97.531128°		 ← 123.28 m → S 66.189357°
E 97.533874°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
S 66.190466°
E 97.531128°		 ← 123.27 m →
15 197 m²		 S 66.190466°
E 97.533874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770923614501953 y=0.747760772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770923614501953 × 217)
    floor (0.770923614501953 × 131072)
    floor (101046.5)     		tx = 101046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747760772705078 × 217)
    floor (0.747760772705078 × 131072)
    floor (98010.5)     		ty = 98010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101046 / 98010 ti = "17/101046/98010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101046/98010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101046 ÷ 217
    101046 ÷ 131072     		x = 0.770919799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98010 ÷ 217
    98010 ÷ 131072     		y = 0.747756958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770919799804688 × 2 - 1) × π
    0.541839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70223931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747756958007812 × 2 - 1) × π
    -0.495513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5567028782617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70223931} λ = 1.70223931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5567028782617))-π/2
    2×atan(0.210830058861326)-π/2
    2×0.20778706073783-π/2
    0.41557412147566-1.57079632675     		φ = -1.15522221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70223931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.531128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15522221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.189357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101046 KachelY 98010 1.70223931 -1.15522221 97.531128 -66.189357
    Oben rechts KachelX + 1 101047 KachelY 98010 1.70228724 -1.15522221 97.533874 -66.189357
    Unten links KachelX 101046 KachelY + 1 98011 1.70223931 -1.15524156 97.531128 -66.190466
    Unten rechts KachelX + 1 101047 KachelY + 1 98011 1.70228724 -1.15524156 97.533874 -66.190466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15522221--1.15524156) × R
    1.93499999998625e-05 × 6371000     		dl = 123.278849999124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15522221--1.15524156) × R
    1.93499999998625e-05 × 6371000     		dr = 123.278849999124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70223931-1.70228724) × cos(-1.15522221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403715247557911 × 6371000     		do = 123.279307536312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70223931-1.70228724) × cos(-1.15524156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40369754446355 × 6371000     		du = 123.27390168348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15522221)-sin(-1.15524156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403715247557911-0.40369754446355)×R²
    abs(1.70228724-1.70223931)×1.77030943609435e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77030943609435e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77030943609435e-05×40589641000000     		ar = 15197.3980485135m²