Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101046 / 98009
↖ ↑ ↗
← S 66.188248°
E 97.531128°		 ← 123.28 m → S 66.188248°
E 97.533874°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
S 66.189357°
E 97.531128°		 ← 123.28 m →
15 206 m²		 S 66.189357°
E 97.533874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770923614501953 y=0.747753143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770923614501953 × 217)
    floor (0.770923614501953 × 131072)
    floor (101046.5)     		tx = 101046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747753143310547 × 217)
    floor (0.747753143310547 × 131072)
    floor (98009.5)     		ty = 98009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101046 / 98009 ti = "17/101046/98009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101046/98009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101046 ÷ 217
    101046 ÷ 131072     		x = 0.770919799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98009 ÷ 217
    98009 ÷ 131072     		y = 0.747749328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770919799804688 × 2 - 1) × π
    0.541839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70223931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747749328613281 × 2 - 1) × π
    -0.495498657226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.55665494136208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70223931} λ = 1.70223931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55665494136208))-π/2
    2×atan(0.210840165642937)-π/2
    2×0.207796737378772-π/2
    0.415593474757544-1.57079632675     		φ = -1.15520285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70223931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.531128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15520285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.188248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101046 KachelY 98009 1.70223931 -1.15520285 97.531128 -66.188248
    Oben rechts KachelX + 1 101047 KachelY 98009 1.70228724 -1.15520285 97.533874 -66.188248
    Unten links KachelX 101046 KachelY + 1 98010 1.70223931 -1.15522221 97.531128 -66.189357
    Unten rechts KachelX + 1 101047 KachelY + 1 98010 1.70228724 -1.15522221 97.533874 -66.189357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15520285--1.15522221) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dl = 123.342560000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15520285--1.15522221) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dr = 123.342560000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70223931-1.70228724) × cos(-1.15520285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403732959649881 × 6371000     		do = 123.284716136671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70223931-1.70228724) × cos(-1.15522221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403715247557911 × 6371000     		du = 123.279307536312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15520285)-sin(-1.15522221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403732959649881-0.403715247557911)×R²
    abs(1.70228724-1.70223931)×1.77120919697127e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77120919697127e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77120919697127e-05×40589641000000     		ar = 15205.9189424734m²