Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101040 / 98353
↖ ↑ ↗
← S 66.566839°
E 97.514648°		 ← 121.46 m → S 66.566839°
E 97.517395°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.567931°
E 97.514648°		 ← 121.46 m →
14 749 m²		 S 66.567931°
E 97.517395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770877838134766 y=0.750377655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770877838134766 × 217)
    floor (0.770877838134766 × 131072)
    floor (101040.5)     		tx = 101040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750377655029297 × 217)
    floor (0.750377655029297 × 131072)
    floor (98353.5)     		ty = 98353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101040 / 98353 ti = "17/101040/98353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101040/98353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101040 ÷ 217
    101040 ÷ 131072     		x = 0.7708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98353 ÷ 217
    98353 ÷ 131072     		y = 0.750373840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7708740234375 × 2 - 1) × π
    0.541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70195168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750373840332031 × 2 - 1) × π
    -0.500747680664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.57314523483138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70195168} λ = 1.70195168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57314523483138))-π/2
    2×atan(0.207391859368663)-π/2
    2×0.204492908630935-π/2
    0.40898581726187-1.57079632675     		φ = -1.16181051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70195168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.514648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16181051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.566839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101040 KachelY 98353 1.70195168 -1.16181051 97.514648 -66.566839
    Oben rechts KachelX + 1 101041 KachelY 98353 1.70199962 -1.16181051 97.517395 -66.566839
    Unten links KachelX 101040 KachelY + 1 98354 1.70195168 -1.16182957 97.514648 -66.567931
    Unten rechts KachelX + 1 101041 KachelY + 1 98354 1.70199962 -1.16182957 97.517395 -66.567931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16181051--1.16182957) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16181051--1.16182957) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70195168-1.70199962) × cos(-1.16181051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397678994610025 × 6371000     		do = 121.461401211143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70195168-1.70199962) × cos(-1.16182957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397661506518648 × 6371000     		du = 121.456059897893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16181051)-sin(-1.16182957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397678994610025-0.397661506518648)×R²
    abs(1.70199962-1.70195168)×1.74880913764164e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74880913764164e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74880913764164e-05×40589641000000     		ar = 14748.8866896957m²