Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101040 / 97841
↖ ↑ ↗
← S 66.001268°
E 97.514648°		 ← 124.22 m → S 66.001268°
E 97.517395°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
S 66.002384°
E 97.514648°		 ← 124.22 m →
15 424 m²		 S 66.002384°
E 97.517395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770877838134766 y=0.746471405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770877838134766 × 217)
    floor (0.770877838134766 × 131072)
    floor (101040.5)     		tx = 101040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746471405029297 × 217)
    floor (0.746471405029297 × 131072)
    floor (97841.5)     		ty = 97841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101040 / 97841 ti = "17/101040/97841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101040/97841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101040 ÷ 217
    101040 ÷ 131072     		x = 0.7708740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97841 ÷ 217
    97841 ÷ 131072     		y = 0.746467590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7708740234375 × 2 - 1) × π
    0.541748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70195168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746467590332031 × 2 - 1) × π
    -0.492935180664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54860154222591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70195168} λ = 1.70195168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54860154222591))-π/2
    2×atan(0.212545001297555)-π/2
    2×0.209428449564205-π/2
    0.41885689912841-1.57079632675     		φ = -1.15193943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70195168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.514648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15193943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.001268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101040 KachelY 97841 1.70195168 -1.15193943 97.514648 -66.001268
    Oben rechts KachelX + 1 101041 KachelY 97841 1.70199962 -1.15193943 97.517395 -66.001268
    Unten links KachelX 101040 KachelY + 1 97842 1.70195168 -1.15195892 97.514648 -66.002384
    Unten rechts KachelX + 1 101041 KachelY + 1 97842 1.70199962 -1.15195892 97.517395 -66.002384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15193943--1.15195892) × R
    1.94899999998999e-05 × 6371000     		dl = 124.170789999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15193943--1.15195892) × R
    1.94899999998999e-05 × 6371000     		dr = 124.170789999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70195168-1.70199962) × cos(-1.15193943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406716431985472 × 6371000     		do = 124.221667209241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70195168-1.70199962) × cos(-1.15195892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40669862673188 × 6371000     		du = 124.216229026487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15193943)-sin(-1.15195892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406716431985472-0.40669862673188)×R²
    abs(1.70199962-1.70195168)×1.78052535925732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78052535925732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78052535925732e-05×40589641000000     		ar = 15424.3649210842m²