Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101039 / 98351
↖ ↑ ↗
← S 66.564654°
E 97.511902°		 ← 121.45 m → S 66.564654°
E 97.514648°		 →
↑
121.49 m
↓
↑
121.49 m
↓
S 66.565747°
E 97.511902°		 ← 121.44 m →
14 755 m²		 S 66.565747°
E 97.514648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770870208740234 y=0.750362396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770870208740234 × 217)
    floor (0.770870208740234 × 131072)
    floor (101039.5)     		tx = 101039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750362396240234 × 217)
    floor (0.750362396240234 × 131072)
    floor (98351.5)     		ty = 98351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101039 / 98351 ti = "17/101039/98351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101039/98351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101039 ÷ 217
    101039 ÷ 131072     		x = 0.770866394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98351 ÷ 217
    98351 ÷ 131072     		y = 0.750358581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770866394042969 × 2 - 1) × π
    0.541732788085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70190375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750358581542969 × 2 - 1) × π
    -0.500717163085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.57304936103214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70190375} λ = 1.70190375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57304936103214))-π/2
    2×atan(0.207411743767333)-π/2
    2×0.204511972967497-π/2
    0.409023945934993-1.57079632675     		φ = -1.16177238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70190375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.511902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16177238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.564654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101039 KachelY 98351 1.70190375 -1.16177238 97.511902 -66.564654
    Oben rechts KachelX + 1 101040 KachelY 98351 1.70195168 -1.16177238 97.514648 -66.564654
    Unten links KachelX 101039 KachelY + 1 98352 1.70190375 -1.16179145 97.511902 -66.565747
    Unten rechts KachelX + 1 101040 KachelY + 1 98352 1.70195168 -1.16179145 97.514648 -66.565747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16177238--1.16179145) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dl = 121.494970000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16177238--1.16179145) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dr = 121.494970000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70190375-1.70195168) × cos(-1.16177238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397713979534455 × 6371000     		do = 121.446748150094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70190375-1.70195168) × cos(-1.16179145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397696482556931 × 6371000     		du = 121.441405237518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16177238)-sin(-1.16179145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397713979534455-0.397696482556931)×R²
    abs(1.70195168-1.70190375)×1.74969775240674e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74969775240674e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74969775240674e-05×40589641000000     		ar = 14754.8444549819m²