Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101038 / 97840
↖ ↑ ↗
← S 66.000150°
E 97.509155°		 ← 124.23 m → S 66.000150°
E 97.511902°		 →
↑
124.23 m
↓
↑
124.23 m
↓
S 66.001268°
E 97.509155°		 ← 124.22 m →
15 433 m²		 S 66.001268°
E 97.511902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770862579345703 y=0.746463775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770862579345703 × 217)
    floor (0.770862579345703 × 131072)
    floor (101038.5)     		tx = 101038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746463775634766 × 217)
    floor (0.746463775634766 × 131072)
    floor (97840.5)     		ty = 97840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101038 / 97840 ti = "17/101038/97840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101038/97840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101038 ÷ 217
    101038 ÷ 131072     		x = 0.770858764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97840 ÷ 217
    97840 ÷ 131072     		y = 0.7464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770858764648438 × 2 - 1) × π
    0.541717529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70185581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54855360532629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70185581} λ = 1.70185581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54855360532629))-π/2
    2×atan(0.21255519029016)-π/2
    2×0.2094381981401-π/2
    0.418876396280201-1.57079632675     		φ = -1.15191993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70185581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.509155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15191993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.000150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101038 KachelY 97840 1.70185581 -1.15191993 97.509155 -66.000150
    Oben rechts KachelX + 1 101039 KachelY 97840 1.70190375 -1.15191993 97.511902 -66.000150
    Unten links KachelX 101038 KachelY + 1 97841 1.70185581 -1.15193943 97.509155 -66.001268
    Unten rechts KachelX + 1 101039 KachelY + 1 97841 1.70190375 -1.15193943 97.511902 -66.001268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15191993--1.15193943) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dl = 124.234500000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15191993--1.15193943) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dr = 124.234500000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70185581-1.70190375) × cos(-1.15191993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406734246220035 × 6371000     		do = 124.227108135015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70185581-1.70190375) × cos(-1.15193943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406716431985472 × 6371000     		du = 124.221667209241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15191993)-sin(-1.15193943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406734246220035-0.406716431985472)×R²
    abs(1.70190375-1.70185581)×1.7814234562652e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7814234562652e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7814234562652e-05×40589641000000     		ar = 15432.9546908176m²