Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101036 / 98740
↖ ↑ ↗
← S 66.985961°
E 97.503662°		 ← 119.38 m → S 66.985961°
E 97.506408°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.987035°
E 97.503662°		 ← 119.38 m →
14 253 m²		 S 66.987035°
E 97.506408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770847320556641 y=0.753330230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770847320556641 × 217)
    floor (0.770847320556641 × 131072)
    floor (101036.5)     		tx = 101036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753330230712891 × 217)
    floor (0.753330230712891 × 131072)
    floor (98740.5)     		ty = 98740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101036 / 98740 ti = "17/101036/98740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101036/98740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101036 ÷ 217
    101036 ÷ 131072     		x = 0.770843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98740 ÷ 217
    98740 ÷ 131072     		y = 0.753326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770843505859375 × 2 - 1) × π
    0.54168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70175994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.50665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59169681498434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70175994} λ = 1.70175994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59169681498434))-π/2
    2×atan(0.20357988110394)-π/2
    2×0.200835371543283-π/2
    0.401670743086565-1.57079632675     		φ = -1.16912558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70175994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.503662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16912558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.985961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101036 KachelY 98740 1.70175994 -1.16912558 97.503662 -66.985961
    Oben rechts KachelX + 1 101037 KachelY 98740 1.70180787 -1.16912558 97.506408 -66.985961
    Unten links KachelX 101036 KachelY + 1 98741 1.70175994 -1.16914432 97.503662 -66.987035
    Unten rechts KachelX + 1 101037 KachelY + 1 98741 1.70180787 -1.16914432 97.506408 -66.987035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16912558--1.16914432) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16912558--1.16914432) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70175994-1.70180787) × cos(-1.16912558) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.390956657786306 × 6371000     		do = 119.383318663162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70175994-1.70180787) × cos(-1.16914432) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.390939409251323 × 6371000     		du = 119.378051615505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16912558)-sin(-1.16914432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390956657786306-0.390939409251323)×R²
    abs(1.70180787-1.70175994)×1.724853498275e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.724853498275e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.724853498275e-05×40589641000000     		ar = 14253.1632260472m²