Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101036 / 98069
↖ ↑ ↗
← S 66.254694°
E 97.503662°		 ← 122.96 m → S 66.254694°
E 97.506408°		 →
↑
122.96 m
↓
↑
122.96 m
↓
S 66.255800°
E 97.503662°		 ← 122.96 m →
15 119 m²		 S 66.255800°
E 97.506408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770847320556641 y=0.748210906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770847320556641 × 217)
    floor (0.770847320556641 × 131072)
    floor (101036.5)     		tx = 101036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748210906982422 × 217)
    floor (0.748210906982422 × 131072)
    floor (98069.5)     		ty = 98069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101036 / 98069 ti = "17/101036/98069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101036/98069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101036 ÷ 217
    101036 ÷ 131072     		x = 0.770843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98069 ÷ 217
    98069 ÷ 131072     		y = 0.748207092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770843505859375 × 2 - 1) × π
    0.54168701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70175994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748207092285156 × 2 - 1) × π
    -0.496414184570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.55953115533929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70175994} λ = 1.70175994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55953115533929))-π/2
    2×atan(0.210234615474944)-π/2
    2×0.207216889555924-π/2
    0.414433779111847-1.57079632675     		φ = -1.15636255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70175994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.503662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15636255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.254694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101036 KachelY 98069 1.70175994 -1.15636255 97.503662 -66.254694
    Oben rechts KachelX + 1 101037 KachelY 98069 1.70180787 -1.15636255 97.506408 -66.254694
    Unten links KachelX 101036 KachelY + 1 98070 1.70175994 -1.15638185 97.503662 -66.255800
    Unten rechts KachelX + 1 101037 KachelY + 1 98070 1.70180787 -1.15638185 97.506408 -66.255800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15636255--1.15638185) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dl = 122.960299999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15636255--1.15638185) × R
    1.92999999999444e-05 × 6371000     		dr = 122.960299999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70175994-1.70180787) × cos(-1.15636255) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.40267170568418 × 6371000     		do = 122.960649470789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70175994-1.70180787) × cos(-1.15638185) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.402654039460928 × 6371000     		du = 122.955254876995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15636255)-sin(-1.15638185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40267170568418-0.402654039460928)×R²
    abs(1.70180787-1.70175994)×1.76662232515556e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.76662232515556e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.76662232515556e-05×40589641000000     		ar = 15118.9466871357m²