Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101035 / 98260
↖ ↑ ↗
← S 66.465051°
E 97.500916°		 ← 121.96 m → S 66.465051°
E 97.503662°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
S 66.466148°
E 97.500916°		 ← 121.95 m →
14 879 m²		 S 66.466148°
E 97.503662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770839691162109 y=0.749668121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770839691162109 × 217)
    floor (0.770839691162109 × 131072)
    floor (101035.5)     		tx = 101035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749668121337891 × 217)
    floor (0.749668121337891 × 131072)
    floor (98260.5)     		ty = 98260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101035 / 98260 ti = "17/101035/98260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101035/98260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101035 ÷ 217
    101035 ÷ 131072     		x = 0.770835876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98260 ÷ 217
    98260 ÷ 131072     		y = 0.749664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770835876464844 × 2 - 1) × π
    0.541671752929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70171200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.49932861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56868710316672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70171200} λ = 1.70171200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56868710316672))-π/2
    2×atan(0.208318503600154)-π/2
    2×0.205381176291924-π/2
    0.410762352583849-1.57079632675     		φ = -1.16003397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70171200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.500916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16003397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.465051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101035 KachelY 98260 1.70171200 -1.16003397 97.500916 -66.465051
    Oben rechts KachelX + 1 101036 KachelY 98260 1.70175994 -1.16003397 97.503662 -66.465051
    Unten links KachelX 101035 KachelY + 1 98261 1.70171200 -1.16005312 97.500916 -66.466148
    Unten rechts KachelX + 1 101036 KachelY + 1 98261 1.70175994 -1.16005312 97.503662 -66.466148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16003397--1.16005312) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dl = 122.004649999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16003397--1.16005312) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dr = 122.004649999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70171200-1.70175994) × cos(-1.16003397) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.399308385374263 × 6371000     		do = 121.959059091624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70171200-1.70175994) × cos(-1.16005312) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.399290828261743 × 6371000     		du = 121.953696697541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16003397)-sin(-1.16005312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399308385374263-0.399290828261743)×R²
    abs(1.70175994-1.70171200)×1.75571125199947e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.75571125199947e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.75571125199947e-05×40589641000000     		ar = 14879.2452006889m²