Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101034 / 99498
↖ ↑ ↗
← S 67.786412°
E 97.498169°		 ← 115.47 m → S 67.786412°
E 97.500916°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.787450°
E 97.498169°		 ← 115.46 m →
13 330 m²		 S 67.787450°
E 97.500916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770832061767578 y=0.759113311767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770832061767578 × 217)
    floor (0.770832061767578 × 131072)
    floor (101034.5)     		tx = 101034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759113311767578 × 217)
    floor (0.759113311767578 × 131072)
    floor (99498.5)     		ty = 99498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101034 / 99498 ti = "17/101034/99498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101034/99498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101034 ÷ 217
    101034 ÷ 131072     		x = 0.770828247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99498 ÷ 217
    99498 ÷ 131072     		y = 0.759109497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770828247070312 × 2 - 1) × π
    0.541656494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70166406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759109497070312 × 2 - 1) × π
    -0.518218994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62803298489635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70166406} λ = 1.70166406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62803298489635))-π/2
    2×atan(0.196315349847418)-π/2
    2×0.193850129611606-π/2
    0.387700259223213-1.57079632675     		φ = -1.18309607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70166406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.498169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18309607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.786412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101034 KachelY 99498 1.70166406 -1.18309607 97.498169 -67.786412
    Oben rechts KachelX + 1 101035 KachelY 99498 1.70171200 -1.18309607 97.500916 -67.786412
    Unten links KachelX 101034 KachelY + 1 99499 1.70166406 -1.18311419 97.498169 -67.787450
    Unten rechts KachelX + 1 101035 KachelY + 1 99499 1.70171200 -1.18311419 97.500916 -67.787450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18309607--1.18311419) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18309607--1.18311419) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70166406-1.70171200) × cos(-1.18309607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378060358298971 × 6371000     		do = 115.469364698053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70166406-1.70171200) × cos(-1.18311419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378043583086112 × 6371000     		du = 115.464241116251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18309607)-sin(-1.18311419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378060358298971-0.378043583086112)×R²
    abs(1.70171200-1.70166406)×1.67752128596432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67752128596432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67752128596432e-05×40589641000000     		ar = 13329.7787042485m²