Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101033 / 98694
↖ ↑ ↗
← S 66.936517°
E 97.495423°		 ← 119.63 m → S 66.936517°
E 97.498169°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
S 66.937593°
E 97.495423°		 ← 119.62 m →
14 313 m²		 S 66.937593°
E 97.498169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770824432373047 y=0.752979278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770824432373047 × 217)
    floor (0.770824432373047 × 131072)
    floor (101033.5)     		tx = 101033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752979278564453 × 217)
    floor (0.752979278564453 × 131072)
    floor (98694.5)     		ty = 98694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101033 / 98694 ti = "17/101033/98694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101033/98694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101033 ÷ 217
    101033 ÷ 131072     		x = 0.770820617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98694 ÷ 217
    98694 ÷ 131072     		y = 0.752975463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770820617675781 × 2 - 1) × π
    0.541641235351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.70161613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752975463867188 × 2 - 1) × π
    -0.505950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58949171760182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70161613} λ = 1.70161613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58949171760182))-π/2
    2×atan(0.204029289879852)-π/2
    2×0.20126685795993-π/2
    0.402533715919861-1.57079632675     		φ = -1.16826261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70161613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.495423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16826261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.936517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101033 KachelY 98694 1.70161613 -1.16826261 97.495423 -66.936517
    Oben rechts KachelX + 1 101034 KachelY 98694 1.70166406 -1.16826261 97.498169 -66.936517
    Unten links KachelX 101033 KachelY + 1 98695 1.70161613 -1.16828139 97.495423 -66.937593
    Unten rechts KachelX + 1 101034 KachelY + 1 98695 1.70166406 -1.16828139 97.498169 -66.937593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16826261--1.16828139) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16826261--1.16828139) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70161613-1.70166406) × cos(-1.16826261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.391750797543475 × 6371000     		do = 119.625818792068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70161613-1.70166406) × cos(-1.16828139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3917335185342 × 6371000     		du = 119.620542438719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16826261)-sin(-1.16828139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391750797543475-0.3917335185342)×R²
    abs(1.70166406-1.70161613)×1.72790092751729e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72790092751729e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72790092751729e-05×40589641000000     		ar = 14312.6001484264m²