Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101032 / 99557
↖ ↑ ↗
← S 67.847595°
E 97.492676°		 ← 115.17 m → S 67.847595°
E 97.495423°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
S 67.848631°
E 97.492676°		 ← 115.16 m →
13 258 m²		 S 67.848631°
E 97.495423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770816802978516 y=0.759563446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770816802978516 × 217)
    floor (0.770816802978516 × 131072)
    floor (101032.5)     		tx = 101032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759563446044922 × 217)
    floor (0.759563446044922 × 131072)
    floor (99557.5)     		ty = 99557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101032 / 99557 ti = "17/101032/99557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101032/99557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101032 ÷ 217
    101032 ÷ 131072     		x = 0.77081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99557 ÷ 217
    99557 ÷ 131072     		y = 0.759559631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77081298828125 × 2 - 1) × π
    0.5416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70156819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759559631347656 × 2 - 1) × π
    -0.519119262695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.63086126197393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70156819} λ = 1.70156819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63086126197393))-π/2
    2×atan(0.195760900081842)-π/2
    2×0.193316199304711-π/2
    0.386632398609421-1.57079632675     		φ = -1.18416393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70156819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18416393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.847595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101032 KachelY 99557 1.70156819 -1.18416393 97.492676 -67.847595
    Oben rechts KachelX + 1 101033 KachelY 99557 1.70161613 -1.18416393 97.495423 -67.847595
    Unten links KachelX 101032 KachelY + 1 99558 1.70156819 -1.18418200 97.492676 -67.848631
    Unten rechts KachelX + 1 101033 KachelY + 1 99558 1.70161613 -1.18418200 97.495423 -67.848631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18416393--1.18418200) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dl = 115.123970000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18416393--1.18418200) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dr = 115.123970000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70156819-1.70161613) × cos(-1.18416393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377071538486874 × 6371000     		do = 115.167353675216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70156819-1.70161613) × cos(-1.18418200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377054802277965 × 6371000     		du = 115.162242006226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18416393)-sin(-1.18418200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377071538486874-0.377054802277965)×R²
    abs(1.70161613-1.70156819)×1.67362089089074e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67362089089074e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67362089089074e-05×40589641000000     		ar = 13258.2287320673m²