Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101032 / 97960
↖ ↑ ↗
← S 66.133854°
E 97.492676°		 ← 123.58 m → S 66.133854°
E 97.495423°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
S 66.134966°
E 97.492676°		 ← 123.57 m →
15 273 m²		 S 66.134966°
E 97.495423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770816802978516 y=0.747379302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770816802978516 × 217)
    floor (0.770816802978516 × 131072)
    floor (101032.5)     		tx = 101032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747379302978516 × 217)
    floor (0.747379302978516 × 131072)
    floor (97960.5)     		ty = 97960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101032 / 97960 ti = "17/101032/97960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101032/97960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101032 ÷ 217
    101032 ÷ 131072     		x = 0.77081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97960 ÷ 217
    97960 ÷ 131072     		y = 0.74737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77081298828125 × 2 - 1) × π
    0.5416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70156819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.4947509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5543060332807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70156819} λ = 1.70156819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5543060332807))-π/2
    2×atan(0.211335991909086)-π/2
    2×0.208271412958362-π/2
    0.416542825916724-1.57079632675     		φ = -1.15425350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70156819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15425350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.133854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101032 KachelY 97960 1.70156819 -1.15425350 97.492676 -66.133854
    Oben rechts KachelX + 1 101033 KachelY 97960 1.70161613 -1.15425350 97.495423 -66.133854
    Unten links KachelX 101032 KachelY + 1 97961 1.70156819 -1.15427290 97.492676 -66.134966
    Unten rechts KachelX + 1 101033 KachelY + 1 97961 1.70161613 -1.15427290 97.495423 -66.134966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15425350--1.15427290) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15425350--1.15427290) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70156819-1.70161613) × cos(-1.15425350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404601315945891 × 6371000     		do = 123.575656327667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70156819-1.70161613) × cos(-1.15427290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404583574702075 × 6371000     		du = 123.570237695145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15425350)-sin(-1.15427290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404601315945891-0.404583574702075)×R²
    abs(1.70161613-1.70156819)×1.77412438167601e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77412438167601e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77412438167601e-05×40589641000000     		ar = 15273.2949614395m²