Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101031 / 99026
↖ ↑ ↗
← S 67.291136°
E 97.489929°		 ← 117.91 m → S 67.291136°
E 97.492676°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
S 67.292196°
E 97.489929°		 ← 117.90 m →
13 897 m²		 S 67.292196°
E 97.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770809173583984 y=0.755512237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770809173583984 × 217)
    floor (0.770809173583984 × 131072)
    floor (101031.5)     		tx = 101031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755512237548828 × 217)
    floor (0.755512237548828 × 131072)
    floor (99026.5)     		ty = 99026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101031 / 99026 ti = "17/101031/99026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101031/99026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101031 ÷ 217
    101031 ÷ 131072     		x = 0.770805358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99026 ÷ 217
    99026 ÷ 131072     		y = 0.755508422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770805358886719 × 2 - 1) × π
    0.541610717773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70152025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755508422851562 × 2 - 1) × π
    -0.511016845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60540676827568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70152025} λ = 1.70152025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60540676827568))-π/2
    2×atan(0.200807856029762)-π/2
    2×0.198172223677588-π/2
    0.396344447355177-1.57079632675     		φ = -1.17445188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70152025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.489929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17445188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.291136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101031 KachelY 99026 1.70152025 -1.17445188 97.489929 -67.291136
    Oben rechts KachelX + 1 101032 KachelY 99026 1.70156819 -1.17445188 97.492676 -67.291136
    Unten links KachelX 101031 KachelY + 1 99027 1.70152025 -1.17447038 97.489929 -67.292196
    Unten rechts KachelX + 1 101032 KachelY + 1 99027 1.70156819 -1.17447038 97.492676 -67.292196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17445188--1.17447038) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dl = 117.863500000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17445188--1.17447038) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dr = 117.863500000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70152025-1.70156819) × cos(-1.17445188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386048760429566 × 6371000     		do = 117.909228330206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70152025-1.70156819) × cos(-1.17447038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386031694513545 × 6371000     		du = 117.904015960176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17445188)-sin(-1.17447038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386048760429566-0.386031694513545)×R²
    abs(1.70156819-1.70152025)×1.70659160216302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70659160216302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70659160216302e-05×40589641000000     		ar = 13896.8871596712m²