Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101031 / 98023
↖ ↑ ↗
← S 66.203767°
E 97.489929°		 ← 123.23 m → S 66.203767°
E 97.492676°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
S 66.204876°
E 97.489929°		 ← 123.23 m →
15 184 m²		 S 66.204876°
E 97.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770809173583984 y=0.747859954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770809173583984 × 217)
    floor (0.770809173583984 × 131072)
    floor (101031.5)     		tx = 101031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747859954833984 × 217)
    floor (0.747859954833984 × 131072)
    floor (98023.5)     		ty = 98023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101031 / 98023 ti = "17/101031/98023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101031/98023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101031 ÷ 217
    101031 ÷ 131072     		x = 0.770805358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98023 ÷ 217
    98023 ÷ 131072     		y = 0.747856140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770805358886719 × 2 - 1) × π
    0.541610717773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70152025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747856140136719 × 2 - 1) × π
    -0.495712280273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.55732605795676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70152025} λ = 1.70152025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55732605795676))-π/2
    2×atan(0.210698714779269)-π/2
    2×0.207661303018396-π/2
    0.415322606036792-1.57079632675     		φ = -1.15547372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70152025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.489929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15547372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.203767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101031 KachelY 98023 1.70152025 -1.15547372 97.489929 -66.203767
    Oben rechts KachelX + 1 101032 KachelY 98023 1.70156819 -1.15547372 97.492676 -66.203767
    Unten links KachelX 101031 KachelY + 1 98024 1.70152025 -1.15549306 97.489929 -66.204876
    Unten rechts KachelX + 1 101032 KachelY + 1 98024 1.70156819 -1.15549306 97.492676 -66.204876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15547372--1.15549306) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dl = 123.215139999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15547372--1.15549306) × R
    1.93399999999233e-05 × 6371000     		dr = 123.215139999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70152025-1.70156819) × cos(-1.15547372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403485132142593 × 6371000     		do = 123.234745063569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70152025-1.70156819) × cos(-1.15549306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403467436234007 × 6371000     		du = 123.229340277594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15547372)-sin(-1.15549306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403485132142593-0.403467436234007)×R²
    abs(1.70156819-1.70152025)×1.76959085863015e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76959085863015e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76959085863015e-05×40589641000000     		ar = 15184.053390572m²