Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101030 / 97962
↖ ↑ ↗
← S 66.136077°
E 97.487183°		 ← 123.54 m → S 66.136077°
E 97.489929°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
S 66.137188°
E 97.487183°		 ← 123.53 m →
15 261 m²		 S 66.137188°
E 97.489929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770801544189453 y=0.747394561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770801544189453 × 217)
    floor (0.770801544189453 × 131072)
    floor (101030.5)     		tx = 101030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747394561767578 × 217)
    floor (0.747394561767578 × 131072)
    floor (97962.5)     		ty = 97962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101030 / 97962 ti = "17/101030/97962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101030/97962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101030 ÷ 217
    101030 ÷ 131072     		x = 0.770797729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97962 ÷ 217
    97962 ÷ 131072     		y = 0.747390747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770797729492188 × 2 - 1) × π
    0.541595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70147232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747390747070312 × 2 - 1) × π
    -0.494781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55440190707994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70147232} λ = 1.70147232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55440190707994))-π/2
    2×atan(0.211315731295872)-π/2
    2×0.208252018475964-π/2
    0.416504036951928-1.57079632675     		φ = -1.15429229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70147232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.487183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15429229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.136077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101030 KachelY 97962 1.70147232 -1.15429229 97.487183 -66.136077
    Oben rechts KachelX + 1 101031 KachelY 97962 1.70152025 -1.15429229 97.489929 -66.136077
    Unten links KachelX 101030 KachelY + 1 97963 1.70147232 -1.15431168 97.487183 -66.137188
    Unten rechts KachelX + 1 101031 KachelY + 1 97963 1.70152025 -1.15431168 97.489929 -66.137188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15429229--1.15431168) × R
    1.93899999998415e-05 × 6371000     		dl = 123.53368999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15429229--1.15431168) × R
    1.93899999998415e-05 × 6371000     		dr = 123.53368999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70147232-1.70152025) × cos(-1.15429229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404565842451077 × 6371000     		do = 123.539046919597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70147232-1.70152025) × cos(-1.15431168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404548110047975 × 6371000     		du = 123.533632116989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15429229)-sin(-1.15431168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404565842451077-0.404548110047975)×R²
    abs(1.70152025-1.70147232)×1.77324031023773e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77324031023773e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77324031023773e-05×40589641000000     		ar = 15260.8998700974m²