Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101026 / 97954
↖ ↑ ↗
← S 66.127185°
E 97.476196°		 ← 123.58 m → S 66.127185°
E 97.478943°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
S 66.128297°
E 97.476196°		 ← 123.58 m →
15 274 m²		 S 66.128297°
E 97.478943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770771026611328 y=0.747333526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770771026611328 × 217)
    floor (0.770771026611328 × 131072)
    floor (101026.5)     		tx = 101026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747333526611328 × 217)
    floor (0.747333526611328 × 131072)
    floor (97954.5)     		ty = 97954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101026 / 97954 ti = "17/101026/97954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101026/97954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101026 ÷ 217
    101026 ÷ 131072     		x = 0.770767211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97954 ÷ 217
    97954 ÷ 131072     		y = 0.747329711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770767211914062 × 2 - 1) × π
    0.541534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70128057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747329711914062 × 2 - 1) × π
    -0.494659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55401841188298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70128057} λ = 1.70128057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55401841188298))-π/2
    2×atan(0.211396785404803)-π/2
    2×0.20832960660906-π/2
    0.41665921321812-1.57079632675     		φ = -1.15413711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70128057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.476196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15413711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.127185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101026 KachelY 97954 1.70128057 -1.15413711 97.476196 -66.127185
    Oben rechts KachelX + 1 101027 KachelY 97954 1.70132850 -1.15413711 97.478943 -66.127185
    Unten links KachelX 101026 KachelY + 1 97955 1.70128057 -1.15415651 97.476196 -66.128297
    Unten rechts KachelX + 1 101027 KachelY + 1 97955 1.70132850 -1.15415651 97.478943 -66.128297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15413711--1.15415651) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15413711--1.15415651) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70128057-1.70132850) × cos(-1.15413711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404707751066307 × 6371000     		do = 123.582380422418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70128057-1.70132850) × cos(-1.15415651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404690010736166 × 6371000     		du = 123.576963199193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15413711)-sin(-1.15415651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404707751066307-0.404690010736166)×R²
    abs(1.70132850-1.70128057)×1.77403301406254e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77403301406254e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77403301406254e-05×40589641000000     		ar = 15274.1261293398m²