Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101025 / 99490
↖ ↑ ↗
← S 67.778103°
E 97.473450°		 ← 115.51 m → S 67.778103°
E 97.476196°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
S 67.779142°
E 97.473450°		 ← 115.51 m →
13 342 m²		 S 67.779142°
E 97.476196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770763397216797 y=0.759052276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770763397216797 × 217)
    floor (0.770763397216797 × 131072)
    floor (101025.5)     		tx = 101025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759052276611328 × 217)
    floor (0.759052276611328 × 131072)
    floor (99490.5)     		ty = 99490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101025 / 99490 ti = "17/101025/99490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101025/99490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101025 ÷ 217
    101025 ÷ 131072     		x = 0.770759582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99490 ÷ 217
    99490 ÷ 131072     		y = 0.759048461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770759582519531 × 2 - 1) × π
    0.541519165039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70123263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759048461914062 × 2 - 1) × π
    -0.518096923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62764948969939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70123263} λ = 1.70123263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62764948969939))-π/2
    2×atan(0.196390650278929)-π/2
    2×0.19392263464763-π/2
    0.38784526929526-1.57079632675     		φ = -1.18295106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70123263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.473450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18295106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.778103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101025 KachelY 99490 1.70123263 -1.18295106 97.473450 -67.778103
    Oben rechts KachelX + 1 101026 KachelY 99490 1.70128057 -1.18295106 97.476196 -67.778103
    Unten links KachelX 101025 KachelY + 1 99491 1.70123263 -1.18296919 97.473450 -67.779142
    Unten rechts KachelX + 1 101026 KachelY + 1 99491 1.70128057 -1.18296919 97.476196 -67.779142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18295106--1.18296919) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dl = 115.506229999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18295106--1.18296919) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dr = 115.506229999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70123263-1.70128057) × cos(-1.18295106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378194601819004 × 6371000     		do = 115.510366124499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70123263-1.70128057) × cos(-1.18296919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378177818342353 × 6371000     		du = 115.505240018723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18295106)-sin(-1.18296919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378194601819004-0.378177818342353)×R²
    abs(1.70128057-1.70123263)×1.67834766506836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67834766506836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67834766506836e-05×40589641000000     		ar = 13341.870868794m²