Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101025 / 97953
↖ ↑ ↗
← S 66.126074°
E 97.473450°		 ← 123.61 m → S 66.126074°
E 97.476196°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
S 66.127185°
E 97.473450°		 ← 123.61 m →
15 278 m²		 S 66.127185°
E 97.476196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770763397216797 y=0.747325897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770763397216797 × 217)
    floor (0.770763397216797 × 131072)
    floor (101025.5)     		tx = 101025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747325897216797 × 217)
    floor (0.747325897216797 × 131072)
    floor (97953.5)     		ty = 97953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101025 / 97953 ti = "17/101025/97953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101025/97953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101025 ÷ 217
    101025 ÷ 131072     		x = 0.770759582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97953 ÷ 217
    97953 ÷ 131072     		y = 0.747322082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770759582519531 × 2 - 1) × π
    0.541519165039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70123263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747322082519531 × 2 - 1) × π
    -0.494644165039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.55397047498336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70123263} λ = 1.70123263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55397047498336))-π/2
    2×atan(0.211406919354179)-π/2
    2×0.208339307039011-π/2
    0.416678614078022-1.57079632675     		φ = -1.15411771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70123263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.473450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15411771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.126074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101025 KachelY 97953 1.70123263 -1.15411771 97.473450 -66.126074
    Oben rechts KachelX + 1 101026 KachelY 97953 1.70128057 -1.15411771 97.476196 -66.126074
    Unten links KachelX 101025 KachelY + 1 97954 1.70123263 -1.15413711 97.473450 -66.127185
    Unten rechts KachelX + 1 101026 KachelY + 1 97954 1.70128057 -1.15413711 97.476196 -66.127185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15411771--1.15413711) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15411771--1.15413711) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70123263-1.70128057) × cos(-1.15411771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404725491244132 × 6371000     		do = 123.613582660021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70123263-1.70128057) × cos(-1.15413711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404707751066307 × 6371000     		du = 123.608164353081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15411771)-sin(-1.15413711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404725491244132-0.404707751066307)×R²
    abs(1.70128057-1.70123263)×1.77401778247988e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77401778247988e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77401778247988e-05×40589641000000     		ar = 15277.9825775834m²