Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101024 / 99426
↖ ↑ ↗
← S 67.711529°
E 97.470703°		 ← 115.84 m → S 67.711529°
E 97.473450°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
S 67.712570°
E 97.470703°		 ← 115.83 m →
13 417 m²		 S 67.712570°
E 97.473450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770755767822266 y=0.758563995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770755767822266 × 217)
    floor (0.770755767822266 × 131072)
    floor (101024.5)     		tx = 101024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758563995361328 × 217)
    floor (0.758563995361328 × 131072)
    floor (99426.5)     		ty = 99426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101024 / 99426 ti = "17/101024/99426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101024/99426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101024 ÷ 217
    101024 ÷ 131072     		x = 0.770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99426 ÷ 217
    99426 ÷ 131072     		y = 0.758560180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    0.54150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70118469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758560180664062 × 2 - 1) × π
    -0.517120361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6245815281237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70118469} λ = 1.70118469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6245815281237))-π/2
    2×atan(0.196994094446246)-π/2
    2×0.19450360238443-π/2
    0.38900720476886-1.57079632675     		φ = -1.18178912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70118469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18178912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.711529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101024 KachelY 99426 1.70118469 -1.18178912 97.470703 -67.711529
    Oben rechts KachelX + 1 101025 KachelY 99426 1.70123263 -1.18178912 97.473450 -67.711529
    Unten links KachelX 101024 KachelY + 1 99427 1.70118469 -1.18180730 97.470703 -67.712570
    Unten rechts KachelX + 1 101025 KachelY + 1 99427 1.70123263 -1.18180730 97.473450 -67.712570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18178912--1.18180730) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dl = 115.824780000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18178912--1.18180730) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dr = 115.824780000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70118469-1.70123263) × cos(-1.18178912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379269984479914 × 6371000     		do = 115.83881566949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70118469-1.70123263) × cos(-1.18180730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379253162716804 × 6371000     		du = 115.833677870044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18178912)-sin(-1.18180730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379269984479914-0.379253162716804)×R²
    abs(1.70123263-1.70118469)×1.68217631095757e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68217631095757e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68217631095757e-05×40589641000000     		ar = 13416.7077986614m²