Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101023 / 97951
↖ ↑ ↗
← S 66.123851°
E 97.467957°		 ← 123.60 m → S 66.123851°
E 97.470703°		 →
↑
123.60 m
↓
↑
123.60 m
↓
S 66.124962°
E 97.467957°		 ← 123.59 m →
15 276 m²		 S 66.124962°
E 97.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770748138427734 y=0.747310638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770748138427734 × 217)
    floor (0.770748138427734 × 131072)
    floor (101023.5)     		tx = 101023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747310638427734 × 217)
    floor (0.747310638427734 × 131072)
    floor (97951.5)     		ty = 97951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101023 / 97951 ti = "17/101023/97951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101023/97951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101023 ÷ 217
    101023 ÷ 131072     		x = 0.770744323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97951 ÷ 217
    97951 ÷ 131072     		y = 0.747306823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770744323730469 × 2 - 1) × π
    0.541488647460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70113676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747306823730469 × 2 - 1) × π
    -0.494613647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.55387460118412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70113676} λ = 1.70113676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55387460118412))-π/2
    2×atan(0.211427188710357)-π/2
    2×0.208358709174621-π/2
    0.416717418349242-1.57079632675     		φ = -1.15407891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70113676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.467957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15407891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.123851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101023 KachelY 97951 1.70113676 -1.15407891 97.467957 -66.123851
    Oben rechts KachelX + 1 101024 KachelY 97951 1.70118469 -1.15407891 97.470703 -66.123851
    Unten links KachelX 101023 KachelY + 1 97952 1.70113676 -1.15409831 97.467957 -66.124962
    Unten rechts KachelX + 1 101024 KachelY + 1 97952 1.70118469 -1.15409831 97.470703 -66.124962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15407891--1.15409831) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dl = 123.597400000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15407891--1.15409831) × R
    1.94000000000027e-05 × 6371000     		dr = 123.597400000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70113676-1.70118469) × cos(-1.15407891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404760971142807 × 6371000     		do = 123.598631813015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70113676-1.70118469) × cos(-1.15409831) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.404743231269634 × 6371000     		du = 123.593214729331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15407891)-sin(-1.15409831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404760971142807-0.404743231269634)×R²
    abs(1.70118469-1.70113676)×1.77398731731615e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77398731731615e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77398731731615e-05×40589641000000     		ar = 15276.1347675241m²