Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101022 / 99421
↖ ↑ ↗
← S 67.706320°
E 97.465210°		 ← 115.86 m → S 67.706320°
E 97.467957°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
S 67.707362°
E 97.465210°		 ← 115.86 m →
13 420 m²		 S 67.707362°
E 97.467957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770740509033203 y=0.758525848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770740509033203 × 217)
    floor (0.770740509033203 × 131072)
    floor (101022.5)     		tx = 101022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758525848388672 × 217)
    floor (0.758525848388672 × 131072)
    floor (99421.5)     		ty = 99421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101022 / 99421 ti = "17/101022/99421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101022/99421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101022 ÷ 217
    101022 ÷ 131072     		x = 0.770736694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99421 ÷ 217
    99421 ÷ 131072     		y = 0.758522033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770736694335938 × 2 - 1) × π
    0.541473388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70108882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758522033691406 × 2 - 1) × π
    -0.517044067382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6243418436256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70108882} λ = 1.70108882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6243418436256))-π/2
    2×atan(0.197041316535878)-π/2
    2×0.194549059992613-π/2
    0.389098119985226-1.57079632675     		φ = -1.18169821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70108882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.465210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18169821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.706320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101022 KachelY 99421 1.70108882 -1.18169821 97.465210 -67.706320
    Oben rechts KachelX + 1 101023 KachelY 99421 1.70113676 -1.18169821 97.467957 -67.706320
    Unten links KachelX 101022 KachelY + 1 99422 1.70108882 -1.18171639 97.465210 -67.707362
    Unten rechts KachelX + 1 101023 KachelY + 1 99422 1.70113676 -1.18171639 97.467957 -67.707362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18169821--1.18171639) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dl = 115.824780000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18169821--1.18171639) × R
    1.81800000000898e-05 × 6371000     		dr = 115.824780000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70108882-1.70113676) × cos(-1.18169821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379354100667564 × 6371000     		do = 115.864506918349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70108882-1.70113676) × cos(-1.18171639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379337279531346 × 6371000     		du = 115.859369310372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18169821)-sin(-1.18171639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379354100667564-0.379337279531346)×R²
    abs(1.70113676-1.70108882)×1.6821136217815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6821136217815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6821136217815e-05×40589641000000     		ar = 13419.6834929357m²