Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101021 / 97969
↖ ↑ ↗
← S 66.143853°
E 97.462463°		 ← 123.53 m → S 66.143853°
E 97.465210°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
S 66.144964°
E 97.462463°		 ← 123.52 m →
15 259 m²		 S 66.144964°
E 97.465210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770732879638672 y=0.747447967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770732879638672 × 217)
    floor (0.770732879638672 × 131072)
    floor (101021.5)     		tx = 101021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747447967529297 × 217)
    floor (0.747447967529297 × 131072)
    floor (97969.5)     		ty = 97969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101021 / 97969 ti = "17/101021/97969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101021/97969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101021 ÷ 217
    101021 ÷ 131072     		x = 0.770729064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97969 ÷ 217
    97969 ÷ 131072     		y = 0.747444152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770729064941406 × 2 - 1) × π
    0.541458129882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70104088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747444152832031 × 2 - 1) × π
    -0.494888305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.55473746537728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70104088} λ = 1.70104088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55473746537728))-π/2
    2×atan(0.211244834444556)-π/2
    2×0.208184151177308-π/2
    0.416368302354615-1.57079632675     		φ = -1.15442802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70104088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.462463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15442802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.143853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101021 KachelY 97969 1.70104088 -1.15442802 97.462463 -66.143853
    Oben rechts KachelX + 1 101022 KachelY 97969 1.70108882 -1.15442802 97.465210 -66.143853
    Unten links KachelX 101021 KachelY + 1 97970 1.70104088 -1.15444741 97.462463 -66.144964
    Unten rechts KachelX + 1 101022 KachelY + 1 97970 1.70108882 -1.15444741 97.465210 -66.144964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15442802--1.15444741) × R
    1.93899999998415e-05 × 6371000     		dl = 123.53368999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15442802--1.15444741) × R
    1.93899999998415e-05 × 6371000     		dr = 123.53368999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70104088-1.70108882) × cos(-1.15442802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404441712435518 × 6371000     		do = 123.526909307404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70104088-1.70108882) × cos(-1.15444741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404423978967864 × 6371000     		du = 123.521493049923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15442802)-sin(-1.15444741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404441712435518-0.404423978967864)×R²
    abs(1.70108882-1.70104088)×1.77334676539909e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77334676539909e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77334676539909e-05×40589641000000     		ar = 15259.4003761535m²