Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101020 / 98360
↖ ↑ ↗
← S 66.574483°
E 97.459717°		 ← 121.40 m → S 66.574483°
E 97.462463°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.575575°
E 97.459717°		 ← 121.39 m →
14 741 m²		 S 66.575575°
E 97.462463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770725250244141 y=0.750431060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770725250244141 × 217)
    floor (0.770725250244141 × 131072)
    floor (101020.5)     		tx = 101020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750431060791016 × 217)
    floor (0.750431060791016 × 131072)
    floor (98360.5)     		ty = 98360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101020 / 98360 ti = "17/101020/98360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101020/98360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101020 ÷ 217
    101020 ÷ 131072     		x = 0.770721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98360 ÷ 217
    98360 ÷ 131072     		y = 0.75042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770721435546875 × 2 - 1) × π
    0.54144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70099295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75042724609375 × 2 - 1) × π
    -0.5008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57348079312872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70099295} λ = 1.70099295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57348079312872))-π/2
    2×atan(0.207322278984241)-π/2
    2×0.20442619665817-π/2
    0.408852393316339-1.57079632675     		φ = -1.16194393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70099295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16194393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.574483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101020 KachelY 98360 1.70099295 -1.16194393 97.459717 -66.574483
    Oben rechts KachelX + 1 101021 KachelY 98360 1.70104088 -1.16194393 97.462463 -66.574483
    Unten links KachelX 101020 KachelY + 1 98361 1.70099295 -1.16196299 97.459717 -66.575575
    Unten rechts KachelX + 1 101021 KachelY + 1 98361 1.70104088 -1.16196299 97.462463 -66.575575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16194393--1.16196299) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dl = 121.431259999036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16194393--1.16196299) × R
    1.90599999998486e-05 × 6371000     		dr = 121.431259999036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70099295-1.70104088) × cos(-1.16194393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39755657493687 × 6371000     		do = 121.398682762644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70099295-1.70104088) × cos(-1.16196299) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39753908583438 × 6371000     		du = 121.393342254805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16194393)-sin(-1.16196299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39755657493687-0.39753908583438)×R²
    abs(1.70104088-1.70099295)×1.74891024901647e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74891024901647e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74891024901647e-05×40589641000000     		ar = 14741.2707583017m²