Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101018 / 98357
↖ ↑ ↗
← S 66.571208°
E 97.454223°		 ← 121.44 m → S 66.571208°
E 97.456970°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.572300°
E 97.454223°		 ← 121.43 m →
14 746 m²		 S 66.572300°
E 97.456970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770709991455078 y=0.750408172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770709991455078 × 217)
    floor (0.770709991455078 × 131072)
    floor (101018.5)     		tx = 101018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750408172607422 × 217)
    floor (0.750408172607422 × 131072)
    floor (98357.5)     		ty = 98357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101018 / 98357 ti = "17/101018/98357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101018/98357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101018 ÷ 217
    101018 ÷ 131072     		x = 0.770706176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98357 ÷ 217
    98357 ÷ 131072     		y = 0.750404357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770706176757812 × 2 - 1) × π
    0.541412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70089707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750404357910156 × 2 - 1) × π
    -0.500808715820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.57333698242986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70089707} λ = 1.70089707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57333698242986))-π/2
    2×atan(0.207352096290043)-π/2
    2×0.204454784988544-π/2
    0.408909569977089-1.57079632675     		φ = -1.16188676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70089707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.454223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16188676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.571208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101018 KachelY 98357 1.70089707 -1.16188676 97.454223 -66.571208
    Oben rechts KachelX + 1 101019 KachelY 98357 1.70094501 -1.16188676 97.456970 -66.571208
    Unten links KachelX 101018 KachelY + 1 98358 1.70089707 -1.16190582 97.454223 -66.572300
    Unten rechts KachelX + 1 101019 KachelY + 1 98358 1.70094501 -1.16190582 97.456970 -66.572300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16188676--1.16190582) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16188676--1.16190582) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70089707-1.70094501) × cos(-1.16188676) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397609032202212 × 6371000     		do = 121.440032891527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70089707-1.70094501) × cos(-1.16190582) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397591543532942 × 6371000     		du = 121.434691401774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16188676)-sin(-1.16190582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397609032202212-0.397591543532942)×R²
    abs(1.70094501-1.70089707)×1.74886692697052e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74886692697052e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74886692697052e-05×40589641000000     		ar = 14746.2918970321m²