Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101012 / 98950
↖ ↑ ↗
← S 67.210417°
E 97.437744°		 ← 118.31 m → S 67.210417°
E 97.440491°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
S 67.211481°
E 97.437744°		 ← 118.30 m →
13 996 m²		 S 67.211481°
E 97.440491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770664215087891 y=0.754932403564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770664215087891 × 217)
    floor (0.770664215087891 × 131072)
    floor (101012.5)     		tx = 101012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754932403564453 × 217)
    floor (0.754932403564453 × 131072)
    floor (98950.5)     		ty = 98950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101012 / 98950 ti = "17/101012/98950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101012/98950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101012 ÷ 217
    101012 ÷ 131072     		x = 0.770660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98950 ÷ 217
    98950 ÷ 131072     		y = 0.754928588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770660400390625 × 2 - 1) × π
    0.54132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70060945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754928588867188 × 2 - 1) × π
    -0.509857177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60176356390456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70060945} λ = 1.70060945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60176356390456))-π/2
    2×atan(0.20154077436358)-π/2
    2×0.19887663373146-π/2
    0.397753267462919-1.57079632675     		φ = -1.17304306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70060945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17304306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.210417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101012 KachelY 98950 1.70060945 -1.17304306 97.437744 -67.210417
    Oben rechts KachelX + 1 101013 KachelY 98950 1.70065739 -1.17304306 97.440491 -67.210417
    Unten links KachelX 101012 KachelY + 1 98951 1.70060945 -1.17306163 97.437744 -67.211481
    Unten rechts KachelX + 1 101013 KachelY + 1 98951 1.70065739 -1.17306163 97.440491 -67.211481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17304306--1.17306163) × R
    1.85700000001621e-05 × 6371000     		dl = 118.309470001033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17304306--1.17306163) × R
    1.85700000001621e-05 × 6371000     		dr = 118.309470001033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70060945-1.70065739) × cos(-1.17304306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387347982875964 × 6371000     		do = 118.306044307321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70060945-1.70065739) × cos(-1.17306163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387330862502453 × 6371000     		du = 118.300815304572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17304306)-sin(-1.17306163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387347982875964-0.387330862502453)×R²
    abs(1.70065739-1.70060945)×1.71203735105929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71203735105929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71203735105929e-05×40589641000000     		ar = 13996.4160800314m²