Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101012 / 98700
↖ ↑ ↗
← S 66.942972°
E 97.437744°		 ← 119.62 m → S 66.942972°
E 97.440491°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
S 66.944048°
E 97.437744°		 ← 119.61 m →
14 312 m²		 S 66.944048°
E 97.440491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770664215087891 y=0.753025054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770664215087891 × 217)
    floor (0.770664215087891 × 131072)
    floor (101012.5)     		tx = 101012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753025054931641 × 217)
    floor (0.753025054931641 × 131072)
    floor (98700.5)     		ty = 98700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101012 / 98700 ti = "17/101012/98700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101012/98700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101012 ÷ 217
    101012 ÷ 131072     		x = 0.770660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98700 ÷ 217
    98700 ÷ 131072     		y = 0.753021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770660400390625 × 2 - 1) × π
    0.54132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70060945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.50604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58977933899954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70060945} λ = 1.70060945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58977933899954))-π/2
    2×atan(0.203970615128782)-π/2
    2×0.201210527457953-π/2
    0.402421054915906-1.57079632675     		φ = -1.16837527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70060945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16837527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.942972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101012 KachelY 98700 1.70060945 -1.16837527 97.437744 -66.942972
    Oben rechts KachelX + 1 101013 KachelY 98700 1.70065739 -1.16837527 97.440491 -66.942972
    Unten links KachelX 101012 KachelY + 1 98701 1.70060945 -1.16839405 97.437744 -66.944048
    Unten rechts KachelX + 1 101013 KachelY + 1 98701 1.70065739 -1.16839405 97.440491 -66.944048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16837527--1.16839405) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16837527--1.16839405) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70060945-1.70065739) × cos(-1.16837527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391647139817858 × 6371000     		do = 119.619117497674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70060945-1.70065739) × cos(-1.16839405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391629859979862 × 6371000     		du = 119.613839790367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16837527)-sin(-1.16839405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391647139817858-0.391629859979862)×R²
    abs(1.70065739-1.70060945)×1.72798379958206e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72798379958206e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72798379958206e-05×40589641000000     		ar = 14311.7982750261m²