Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101012 / 98455
↖ ↑ ↗
← S 66.678000°
E 97.437744°		 ← 120.92 m → S 66.678000°
E 97.440491°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.679087°
E 97.437744°		 ← 120.91 m →
14 621 m²		 S 66.679087°
E 97.440491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770664215087891 y=0.751155853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770664215087891 × 217)
    floor (0.770664215087891 × 131072)
    floor (101012.5)     		tx = 101012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751155853271484 × 217)
    floor (0.751155853271484 × 131072)
    floor (98455.5)     		ty = 98455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101012 / 98455 ti = "17/101012/98455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101012/98455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101012 ÷ 217
    101012 ÷ 131072     		x = 0.770660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98455 ÷ 217
    98455 ÷ 131072     		y = 0.751152038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770660400390625 × 2 - 1) × π
    0.54132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70060945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751152038574219 × 2 - 1) × π
    -0.502304077148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.57803479859263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70060945} λ = 1.70060945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57803479859263))-π/2
    2×atan(0.206380278758055)-π/2
    2×0.203522848455301-π/2
    0.407045696910602-1.57079632675     		φ = -1.16375063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70060945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16375063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.678000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101012 KachelY 98455 1.70060945 -1.16375063 97.437744 -66.678000
    Oben rechts KachelX + 1 101013 KachelY 98455 1.70065739 -1.16375063 97.440491 -66.678000
    Unten links KachelX 101012 KachelY + 1 98456 1.70060945 -1.16376961 97.437744 -66.679087
    Unten rechts KachelX + 1 101013 KachelY + 1 98456 1.70065739 -1.16376961 97.440491 -66.679087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16375063--1.16376961) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16375063--1.16376961) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70060945-1.70065739) × cos(-1.16375063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395898139428024 × 6371000     		do = 120.917482199348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70060945-1.70065739) × cos(-1.16376961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395880710128403 × 6371000     		du = 120.912158842614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16375063)-sin(-1.16376961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395898139428024-0.395880710128403)×R²
    abs(1.70065739-1.70060945)×1.74292996207859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74292996207859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74292996207859e-05×40589641000000     		ar = 14621.2111432488m²