Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101011 / 98703
↖ ↑ ↗
← S 66.946199°
E 97.434997°		 ← 119.60 m → S 66.946199°
E 97.437744°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
S 66.947274°
E 97.434997°		 ← 119.60 m →
14 302 m²		 S 66.947274°
E 97.437744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770656585693359 y=0.753047943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770656585693359 × 217)
    floor (0.770656585693359 × 131072)
    floor (101011.5)     		tx = 101011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753047943115234 × 217)
    floor (0.753047943115234 × 131072)
    floor (98703.5)     		ty = 98703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101011 / 98703 ti = "17/101011/98703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101011/98703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101011 ÷ 217
    101011 ÷ 131072     		x = 0.770652770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98703 ÷ 217
    98703 ÷ 131072     		y = 0.753044128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770652770996094 × 2 - 1) × π
    0.541305541992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70056151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753044128417969 × 2 - 1) × π
    -0.506088256835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.5899231496984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70056151} λ = 1.70056151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5899231496984))-π/2
    2×atan(0.203941284081183)-π/2
    2×0.201182367796769-π/2
    0.402364735593538-1.57079632675     		φ = -1.16843159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70056151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.434997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16843159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.946199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101011 KachelY 98703 1.70056151 -1.16843159 97.434997 -66.946199
    Oben rechts KachelX + 1 101012 KachelY 98703 1.70060945 -1.16843159 97.437744 -66.946199
    Unten links KachelX 101011 KachelY + 1 98704 1.70056151 -1.16845036 97.434997 -66.947274
    Unten rechts KachelX + 1 101012 KachelY + 1 98704 1.70060945 -1.16845036 97.437744 -66.947274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16843159--1.16845036) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16843159--1.16845036) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70056151-1.70060945) × cos(-1.16843159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391595318292258 × 6371000     		do = 119.60328986987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70056151-1.70060945) × cos(-1.16845036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391578047241506 × 6371000     		du = 119.598014846414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16843159)-sin(-1.16845036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391595318292258-0.391578047241506)×R²
    abs(1.70060945-1.70056151)×1.7271050751444e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7271050751444e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7271050751444e-05×40589641000000     		ar = 14302.2849438667m²