Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10101 / 2437
↖ ↑ ↗
← N 77.442164°
E 41.945801°		 ← 531.23 m → N 77.442164°
E 41.967774°		 →
↑
531.34 m
↓
↑
531.34 m
↓
N 77.437385°
E 41.945801°		 ← 531.43 m →
282 317 m²		 N 77.437385°
E 41.967774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616546630859375 y=0.148773193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616546630859375 × 214)
    floor (0.616546630859375 × 16384)
    floor (10101.5)     		tx = 10101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148773193359375 × 214)
    floor (0.148773193359375 × 16384)
    floor (2437.5)     		ty = 2437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10101 / 2437 ti = "14/10101/2437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10101/2437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10101 ÷ 214
    10101 ÷ 16384     		x = 0.61651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2437 ÷ 214
    2437 ÷ 16384     		y = 0.14874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61651611328125 × 2 - 1) × π
    0.2330322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73209233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14874267578125 × 2 - 1) × π
    0.7025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20701485850739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73209233} λ = 0.73209233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20701485850739))-π/2
    2×atan(9.08854526480866)-π/2
    2×1.46120853241303-π/2
    2.92241706482606-1.57079632675     		φ = 1.35162074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73209233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.945801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35162074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.442164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10101 KachelY 2437 0.73209233 1.35162074 41.945801 77.442164
    Oben rechts KachelX + 1 10102 KachelY 2437 0.73247583 1.35162074 41.967774 77.442164
    Unten links KachelX 10101 KachelY + 1 2438 0.73209233 1.35153734 41.945801 77.437385
    Unten rechts KachelX + 1 10102 KachelY + 1 2438 0.73247583 1.35153734 41.967774 77.437385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35162074-1.35153734) × R
    8.34000000000668e-05 × 6371000     		dl = 531.341400000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35162074-1.35153734) × R
    8.34000000000668e-05 × 6371000     		dr = 531.341400000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73209233-0.73247583) × cos(1.35162074) × R
    0.000383500000000092 × 0.217425006267294 × 6371000     		do = 531.229843175373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73209233-0.73247583) × cos(1.35153734) × R
    0.000383500000000092 × 0.217506410335267 × 6371000     		du = 531.428735984463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35162074)-sin(1.35153734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217425006267294-0.217506410335267)×R²
    abs(0.73247583-0.73209233)×8.14040679725792e-05×R²
    0.000383500000000092×8.14040679725792e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.14040679725792e-05×40589641000000     		ar = 282317.248750633m²