Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101008 / 98425
↖ ↑ ↗
← S 66.645357°
E 97.426758°		 ← 121.08 m → S 66.645357°
E 97.429504°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
S 66.646446°
E 97.426758°		 ← 121.07 m →
14 656 m²		 S 66.646446°
E 97.429504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770633697509766 y=0.750926971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770633697509766 × 217)
    floor (0.770633697509766 × 131072)
    floor (101008.5)     		tx = 101008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750926971435547 × 217)
    floor (0.750926971435547 × 131072)
    floor (98425.5)     		ty = 98425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101008 / 98425 ti = "17/101008/98425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101008/98425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101008 ÷ 217
    101008 ÷ 131072     		x = 0.7706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98425 ÷ 217
    98425 ÷ 131072     		y = 0.750923156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7706298828125 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70041770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750923156738281 × 2 - 1) × π
    -0.501846313476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.57659669160403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70041770} λ = 1.70041770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57659669160403))-π/2
    2×atan(0.20667728919445)-π/2
    2×0.203807708432973-π/2
    0.407615416865945-1.57079632675     		φ = -1.16318091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70041770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16318091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.645357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101008 KachelY 98425 1.70041770 -1.16318091 97.426758 -66.645357
    Oben rechts KachelX + 1 101009 KachelY 98425 1.70046564 -1.16318091 97.429504 -66.645357
    Unten links KachelX 101008 KachelY + 1 98426 1.70041770 -1.16319991 97.426758 -66.646446
    Unten rechts KachelX + 1 101009 KachelY + 1 98426 1.70046564 -1.16319991 97.429504 -66.646446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16318091--1.16319991) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16318091--1.16319991) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70041770-1.70046564) × cos(-1.16318091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39642124585284 × 6371000     		do = 121.077252366246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70041770-1.70046564) × cos(-1.16319991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396403802475388 × 6371000     		du = 121.07192470978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16318091)-sin(-1.16319991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39642124585284-0.396403802475388)×R²
    abs(1.70046564-1.70041770)×1.7443377452242e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7443377452242e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7443377452242e-05×40589641000000     		ar = 14655.957868327m²