Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101007 / 98424
↖ ↑ ↗
← S 66.644268°
E 97.424011°		 ← 121.06 m → S 66.644268°
E 97.426758°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
S 66.645357°
E 97.424011°		 ← 121.05 m →
14 654 m²		 S 66.645357°
E 97.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770626068115234 y=0.750919342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770626068115234 × 217)
    floor (0.770626068115234 × 131072)
    floor (101007.5)     		tx = 101007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750919342041016 × 217)
    floor (0.750919342041016 × 131072)
    floor (98424.5)     		ty = 98424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101007 / 98424 ti = "17/101007/98424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101007/98424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101007 ÷ 217
    101007 ÷ 131072     		x = 0.770622253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98424 ÷ 217
    98424 ÷ 131072     		y = 0.75091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770622253417969 × 2 - 1) × π
    0.541244506835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70036977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75091552734375 × 2 - 1) × π
    -0.5018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57654875470441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70036977} λ = 1.70036977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57654875470441))-π/2
    2×atan(0.206687196900386)-π/2
    2×0.203817210244791-π/2
    0.407634420489583-1.57079632675     		φ = -1.16316191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70036977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.424011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16316191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.644268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101007 KachelY 98424 1.70036977 -1.16316191 97.424011 -66.644268
    Oben rechts KachelX + 1 101008 KachelY 98424 1.70041770 -1.16316191 97.426758 -66.644268
    Unten links KachelX 101007 KachelY + 1 98425 1.70036977 -1.16318091 97.424011 -66.645357
    Unten rechts KachelX + 1 101008 KachelY + 1 98425 1.70041770 -1.16318091 97.426758 -66.645357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16316191--1.16318091) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16316191--1.16318091) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70036977-1.70041770) × cos(-1.16316191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396438689087184 × 6371000     		do = 121.057322870276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70036977-1.70041770) × cos(-1.16318091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39642124585284 × 6371000     		du = 121.051996368826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16316191)-sin(-1.16318091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396438689087184-0.39642124585284)×R²
    abs(1.70041770-1.70036977)×1.74432343442721e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74432343442721e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74432343442721e-05×40589641000000     		ar = 14653.5454928259m²