Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101007 / 98386
↖ ↑ ↗
← S 66.602857°
E 97.424011°		 ← 121.26 m → S 66.602857°
E 97.426758°		 →
↑
121.24 m
↓
↑
121.24 m
↓
S 66.603948°
E 97.424011°		 ← 121.25 m →
14 701 m²		 S 66.603948°
E 97.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770626068115234 y=0.750629425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770626068115234 × 217)
    floor (0.770626068115234 × 131072)
    floor (101007.5)     		tx = 101007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750629425048828 × 217)
    floor (0.750629425048828 × 131072)
    floor (98386.5)     		ty = 98386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101007 / 98386 ti = "17/101007/98386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101007/98386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101007 ÷ 217
    101007 ÷ 131072     		x = 0.770622253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98386 ÷ 217
    98386 ÷ 131072     		y = 0.750625610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770622253417969 × 2 - 1) × π
    0.541244506835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70036977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750625610351562 × 2 - 1) × π
    -0.501251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57472715251884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70036977} λ = 1.70036977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57472715251884))-π/2
    2×atan(0.207064041876599)-π/2
    2×0.204178589098044-π/2
    0.408357178196088-1.57079632675     		φ = -1.16243915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70036977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.424011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16243915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.602857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101007 KachelY 98386 1.70036977 -1.16243915 97.424011 -66.602857
    Oben rechts KachelX + 1 101008 KachelY 98386 1.70041770 -1.16243915 97.426758 -66.602857
    Unten links KachelX 101007 KachelY + 1 98387 1.70036977 -1.16245818 97.424011 -66.603948
    Unten rechts KachelX + 1 101008 KachelY + 1 98387 1.70041770 -1.16245818 97.426758 -66.603948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16243915--1.16245818) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dl = 121.240130000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16243915--1.16245818) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dr = 121.240130000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70036977-1.70041770) × cos(-1.16243915) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397102123395657 × 6371000     		do = 121.259910517482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70036977-1.70041770) × cos(-1.16245818) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397084658076359 × 6371000     		du = 121.254577272127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16243915)-sin(-1.16245818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397102123395657-0.397084658076359)×R²
    abs(1.70041770-1.70036977)×1.74653192973606e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74653192973606e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74653192973606e-05×40589641000000     		ar = 14701.2440137464m²