Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101006 / 98995
↖ ↑ ↗
← S 67.258244°
E 97.421265°		 ← 118.07 m → S 67.258244°
E 97.424011°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
S 67.259305°
E 97.421265°		 ← 118.07 m →
13 939 m²		 S 67.259305°
E 97.424011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770618438720703 y=0.755275726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770618438720703 × 217)
    floor (0.770618438720703 × 131072)
    floor (101006.5)     		tx = 101006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755275726318359 × 217)
    floor (0.755275726318359 × 131072)
    floor (98995.5)     		ty = 98995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101006 / 98995 ti = "17/101006/98995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101006/98995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101006 ÷ 217
    101006 ÷ 131072     		x = 0.770614624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98995 ÷ 217
    98995 ÷ 131072     		y = 0.755271911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770614624023438 × 2 - 1) × π
    0.541229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70032183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755271911621094 × 2 - 1) × π
    -0.510543823242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.60392072438746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70032183} λ = 1.70032183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60392072438746))-π/2
    2×atan(0.201106487151442)-π/2
    2×0.198459263060783-π/2
    0.396918526121565-1.57079632675     		φ = -1.17387780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70032183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.421265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17387780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.258244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101006 KachelY 98995 1.70032183 -1.17387780 97.421265 -67.258244
    Oben rechts KachelX + 1 101007 KachelY 98995 1.70036977 -1.17387780 97.424011 -67.258244
    Unten links KachelX 101006 KachelY + 1 98996 1.70032183 -1.17389633 97.421265 -67.259305
    Unten rechts KachelX + 1 101007 KachelY + 1 98996 1.70036977 -1.17389633 97.424011 -67.259305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17387780--1.17389633) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17387780--1.17389633) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70032183-1.70036977) × cos(-1.17387780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386578273172063 × 6371000     		do = 118.070955151422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70032183-1.70036977) × cos(-1.17389633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386561183690874 × 6371000     		du = 118.065735583984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17387780)-sin(-1.17389633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386578273172063-0.386561183690874)×R²
    abs(1.70036977-1.70032183)×1.70894811897249e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70894811897249e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70894811897249e-05×40589641000000     		ar = 13938.5148275259m²