Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101006 / 98992
↖ ↑ ↗
← S 67.255058°
E 97.421265°		 ← 118.09 m → S 67.255058°
E 97.424011°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
S 67.256120°
E 97.421265°		 ← 118.08 m →
13 948 m²		 S 67.256120°
E 97.424011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770618438720703 y=0.755252838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770618438720703 × 217)
    floor (0.770618438720703 × 131072)
    floor (101006.5)     		tx = 101006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755252838134766 × 217)
    floor (0.755252838134766 × 131072)
    floor (98992.5)     		ty = 98992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101006 / 98992 ti = "17/101006/98992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101006/98992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101006 ÷ 217
    101006 ÷ 131072     		x = 0.770614624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98992 ÷ 217
    98992 ÷ 131072     		y = 0.7552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770614624023438 × 2 - 1) × π
    0.541229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70032183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6037769136886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70032183} λ = 1.70032183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6037769136886))-π/2
    2×atan(0.201135410495598)-π/2
    2×0.198487061949986-π/2
    0.396974123899972-1.57079632675     		φ = -1.17382220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70032183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.421265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17382220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.255058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101006 KachelY 98992 1.70032183 -1.17382220 97.421265 -67.255058
    Oben rechts KachelX + 1 101007 KachelY 98992 1.70036977 -1.17382220 97.424011 -67.255058
    Unten links KachelX 101006 KachelY + 1 98993 1.70032183 -1.17384074 97.421265 -67.256120
    Unten rechts KachelX + 1 101007 KachelY + 1 98993 1.70036977 -1.17384074 97.424011 -67.256120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17382220--1.17384074) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dl = 118.118339999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17382220--1.17384074) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dr = 118.118339999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70032183-1.70036977) × cos(-1.17382220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386629550041545 × 6371000     		do = 118.086616427228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70032183-1.70036977) × cos(-1.17384074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386612451736229 × 6371000     		du = 118.081394164675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17382220)-sin(-1.17384074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386629550041545-0.386612451736229)×R²
    abs(1.70036977-1.70032183)×1.70983053155438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70983053155438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70983053155438e-05×40589641000000     		ar = 13947.8866864321m²