Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101006 / 97906
↖ ↑ ↗
← S 66.073774°
E 97.421265°		 ← 123.87 m → S 66.073774°
E 97.424011°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.074888°
E 97.421265°		 ← 123.86 m →
15 341 m²		 S 66.074888°
E 97.424011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770618438720703 y=0.746967315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770618438720703 × 217)
    floor (0.770618438720703 × 131072)
    floor (101006.5)     		tx = 101006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746967315673828 × 217)
    floor (0.746967315673828 × 131072)
    floor (97906.5)     		ty = 97906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101006 / 97906 ti = "17/101006/97906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101006/97906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101006 ÷ 217
    101006 ÷ 131072     		x = 0.770614624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97906 ÷ 217
    97906 ÷ 131072     		y = 0.746963500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770614624023438 × 2 - 1) × π
    0.541229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70032183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746963500976562 × 2 - 1) × π
    -0.493927001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55171744070122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70032183} λ = 1.70032183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55171744070122))-π/2
    2×atan(0.211883763362203)-π/2
    2×0.208795707166426-π/2
    0.417591414332853-1.57079632675     		φ = -1.15320491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70032183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.421265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15320491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.073774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101006 KachelY 97906 1.70032183 -1.15320491 97.421265 -66.073774
    Oben rechts KachelX + 1 101007 KachelY 97906 1.70036977 -1.15320491 97.424011 -66.073774
    Unten links KachelX 101006 KachelY + 1 97907 1.70032183 -1.15322435 97.421265 -66.074888
    Unten rechts KachelX + 1 101007 KachelY + 1 97907 1.70036977 -1.15322435 97.424011 -66.074888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15320491--1.15322435) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15320491--1.15322435) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70032183-1.70036977) × cos(-1.15320491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405560021735284 × 6371000     		do = 123.868469752834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70032183-1.70036977) × cos(-1.15322435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405542252168648 × 6371000     		du = 123.863042469795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15320491)-sin(-1.15322435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405560021735284-0.405542252168648)×R²
    abs(1.70036977-1.70032183)×1.77695666354061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77695666354061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77695666354061e-05×40589641000000     		ar = 15341.0513540915m²