Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101002 / 98442
↖ ↑ ↗
← S 66.663859°
E 97.410278°		 ← 120.99 m → S 66.663859°
E 97.413025°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
S 66.664948°
E 97.410278°		 ← 120.98 m →
14 637 m²		 S 66.664948°
E 97.413025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770587921142578 y=0.751056671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770587921142578 × 217)
    floor (0.770587921142578 × 131072)
    floor (101002.5)     		tx = 101002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751056671142578 × 217)
    floor (0.751056671142578 × 131072)
    floor (98442.5)     		ty = 98442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101002 / 98442 ti = "17/101002/98442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101002/98442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101002 ÷ 217
    101002 ÷ 131072     		x = 0.770584106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98442 ÷ 217
    98442 ÷ 131072     		y = 0.751052856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770584106445312 × 2 - 1) × π
    0.541168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70013008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751052856445312 × 2 - 1) × π
    -0.502105712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57741161889757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70013008} λ = 1.70013008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57741161889757))-π/2
    2×atan(0.206508930839757)-π/2
    2×0.203646241598248-π/2
    0.407292483196495-1.57079632675     		φ = -1.16350384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70013008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.410278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16350384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.663859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101002 KachelY 98442 1.70013008 -1.16350384 97.410278 -66.663859
    Oben rechts KachelX + 1 101003 KachelY 98442 1.70017802 -1.16350384 97.413025 -66.663859
    Unten links KachelX 101002 KachelY + 1 98443 1.70013008 -1.16352283 97.410278 -66.664948
    Unten rechts KachelX + 1 101003 KachelY + 1 98443 1.70017802 -1.16352283 97.413025 -66.664948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16350384--1.16352283) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16350384--1.16352283) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70013008-1.70017802) × cos(-1.16350384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396124753252362 × 6371000     		do = 120.986695894341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70013008-1.70017802) × cos(-1.16352283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396107316625605 × 6371000     		du = 120.98137029971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16350384)-sin(-1.16352283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396124753252362-0.396107316625605)×R²
    abs(1.70017802-1.70013008)×1.74366267569614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74366267569614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74366267569614e-05×40589641000000     		ar = 14637.2883301259m²